Dinamica - Moto Armonico

Descrizione della cinematica, della dinamica e del bilancio energetico del moto armonico

Cherubino
di Cherubino
Genius
2 min. di lettura
Vota 4 / 5

Concetti Chiave

  • Il moto armonico è descritto dalla legge x(t) = x₀ cos(ωt + φ), dove x₀ è l'ampiezza, ω la frequenza angolare e φ la fase.
  • La frequenza angolare ω determina il periodo del moto armonico attraverso l'equazione T = 2π/ω.
  • Dal punto di vista dinamico, un moto armonico è causato da una forza di richiamo elastica, con l'equazione differenziale m d²r/dt² = -k r.
  • La soluzione dell'equazione del moto è espressa come r(t) = α cos(ωt + φ), rappresentando la somma di componenti sinusoidali.
  • Durante il moto armonico, l'energia totale, somma di energia cinetica e potenziale, rimane costante.
Moto Armonico: cinematica

Si definisce moto armonico il moto di un punto materiale il cui spostamento x(t) al tempo t varia secondo la legge

[math]x(t)=x_0 \cos(\omega t + \phi)[/math]
dove
-
[math]x_0[/math]
è l'ampiezza del moto, ovvero il massimo spostamento del punto materiale dall'origine delle coordinate;
-
[math]\omega[/math]
è un parametro chiamato "frequenza angolare" o "pulsazione del moto", di dimensioni rad/s;
-
[math]\phi[/math]
è un parametro chiamato "fase", ed è legato alla posizione iniziale del punto materiale.

Un moto armonico si può considerare anche come la proiezione di un moto circolare uniforme su un asse cartesiano.

Il periodo del moto armonico è legato alla frequenza angolare dalle seguenti equazioni:

[math]T=2 \pi \omega [/math]
si definisce frequenza (
[math]\nu[/math]
)
[math]\nu = \frac {\omega}{2 \pi} [/math]

Moto Armonico: dinamica
Un punto materiale descrive un moto armonico se è soggetto alla forza di richiamo "elastica"

[math]\vec F = - k \vec r[/math]
dove il vettore
[math]\vec r[/math]
indica lo spostamento dall'origine delle coordinate;

Ricaviamo la soluzione del moto facendo uso del calcolo differenziale ed integrale.
L'equazione della dinamica

[math]\vec F = m \vec a = m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2}[/math]
assume forma
[math] m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2} = - k \vec r[/math]
;
ovvero
[math] \frac{d^2 \vec x}{ d t^2} + \omega^2 \vec r = 0[/math]
,
dove è stato introdotto
[math] \omega = \sqrt{\frac k m}[/math]
.

La soluzione generale dell'equazione differenziale del moto è del tipo

[math] \vec r(t) = \vec r_0 \cos (\omega t) + \vec v_0 sin (\omega t) [/math]
,
che è riscrivibile come
[math] \vec r(t) = \vec \alpha cos (\omega t + \phi)[/math]
.

Moto Armonico: bilancio energetico

L'energia cinetica di un punto materiale è

[math] E_k = \frac 1 2 m v^2[/math]
L'energia potenziale di un punto materiale in un campo di forze del tipo
[math]\vec F = - k \vec r[/math]
è
[math] U = \frac 1 2 k r^2[/math]

Segue che l'energia totale, ovvero la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è costante durante il moto armonico, e vale:

[math] E = E_k + U =\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 k r^2 [/math]

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è il moto armonico e come si descrive matematicamente?

    2. Il moto armonico è il movimento di un punto materiale il cui spostamento varia secondo la legge [math]x(t)=x_0 \cos(\omega t + \phi)[/math], dove [math]x_0[/math] è l'ampiezza, [math]\omega[/math] è la frequenza angolare, e [math]\phi[/math] è la fase.

  2. Qual è la relazione tra la frequenza angolare e il periodo del moto armonico?

    3. Il periodo del moto armonico è legato alla frequenza angolare dall'equazione [math]T=2 \pi \omega [/math], e la frequenza è definita come [math]\nu = \frac {\omega}{2 \pi} [/math].

  3. Come si conserva l'energia nel moto armonico?

    4. Nel moto armonico, l'energia totale, somma dell'energia cinetica [math] E_k = \frac 1 2 m v^2[/math] e dell'energia potenziale [math] U = \frac 1 2 k r^2[/math], è costante durante il moto.

Appunti correlati

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Fai una domanda

Aiuto per Errori per Fisica
Linustrike di Linustrike

aiuto studio
Giorgia.obe di Giorgia.obe

Esercizi con i vettori
DAMIANO2011 di DAMIANO2011

I migliori insegnanti di Fisica

Salvatore

Salvatore F.

Supertutor
Percorsi
Verificato
DSA

Insegnante di Aiuto compiti, Aiuto tesi, Algebra, Analisi 1

a partire da 20 €/ora
most booked
Matteo

Matteo S.

Supertutor
Verificato

Insegnante di Aiuto tesi, Algebra, Geometria, Matematica

a partire da 20 €/ora
most booked
Mostra altri Tutor