di Moto Armonico: cinematica
Si definisce moto armonico il moto di un punto materiale il cui spostamento x(t) al tempo t varia secondo la legge
[math]x(t)=x_0 \cos(\omega t + \phi)[/math]
dove
-
[math]x_0[/math]
è l'ampiezza del moto, ovvero il massimo spostamento del punto materiale dall'origine delle coordinate;-
[math]\omega[/math]
è un parametro chiamato "frequenza angolare" o "pulsazione del moto", di dimensioni rad/s;-
[math]\phi[/math]
è un parametro chiamato "fase", ed è legato alla posizione iniziale del punto materiale.Un moto armonico si può considerare anche come la proiezione di un moto circolare uniforme su un asse cartesiano.
Il periodo del moto armonico è legato alla frequenza angolare dalle seguenti equazioni:
[math]T=2 \pi \omega [/math]
si definisce frequenza (
[math]\nu[/math]
)[math]\nu = \frac {\omega}{2 \pi} [/math]
Moto Armonico: dinamica
Un punto materiale descrive un moto armonico se è soggetto alla forza di richiamo "elastica"
[math]\vec F = - k \vec r[/math]
dove il vettore
[math]\vec r[/math]
indica lo spostamento dall'origine delle coordinate;Ricaviamo la soluzione del moto facendo uso del calcolo differenziale ed integrale.
L'equazione della dinamica
[math]\vec F = m \vec a = m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2}[/math]
assume forma
[math] m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2} = - k \vec r[/math]
;ovvero
[math] \frac{d^2 \vec x}{ d t^2} + \omega^2 \vec r = 0[/math]
,dove è stato introdotto
[math] \omega = \sqrt{\frac k m}[/math]
.La soluzione generale dell'equazione differenziale del moto è del tipo
[math] \vec r(t) = \vec r_0 \cos (\omega t) + \vec v_0 sin (\omega t) [/math]
,che è riscrivibile come
[math] \vec r(t) = \vec \alpha cos (\omega t + \phi)[/math]
.Moto Armonico: bilancio energetico
L'energia cinetica di un punto materiale è
[math] E_k = \frac 1 2 m v^2[/math]
L'energia potenziale di un punto materiale in un campo di forze del tipo
[math]\vec F = - k \vec r[/math]
è[math] U = \frac 1 2 k r^2[/math]
Segue che l'energia totale, ovvero la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è costante durante il moto armonico, e vale:
[math] E = E_k + U =\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 k r^2 [/math]
