Dinamica - Moto Armonico

Cherubino
di Cherubino
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Il moto armonico è un movimento periodico descritto da una funzione coseno, caratterizzato da ampiezza, frequenza angolare e fase. Analizza la dinamica e l'energia cinetica e potenziale, evidenziando la costanza dell'energia totale durante il moto.

Concetti Chiave

  • Il moto armonico è caratterizzato da uno spostamento che segue la legge x(t) = x0 cos(ωt + φ), con ampiezza x0, frequenza angolare ω, e fase φ.
  • Il periodo di un moto armonico è correlato alla frequenza angolare dalla formula T = 2πω, mentre la frequenza è ν = ω / (2π).
  • Un oggetto in moto armonico è soggetto a una forza elastica di richiamo, descritta dalla legge F = -k r, dove r rappresenta lo spostamento dall'origine.
  • L'equazione del moto armonico si esprime come una soluzione dell'equazione differenziale m(d²r/dt²) = -kr, con ω = √(k/m).
  • L'energia totale nel moto armonico rimane costante ed è la somma dell'energia cinetica e potenziale, espressa da E = Ek + U.
Moto Armonico: cinematica

Si definisce moto armonico il moto di un punto materiale il cui spostamento x(t) al tempo t varia secondo la legge

[math]x(t)=x_0 \cos(\omega t + \phi)[/math]
dove
-
[math]x_0[/math]
è l'ampiezza del moto, ovvero il massimo spostamento del punto materiale dall'origine delle coordinate;
-
[math]\omega[/math]
è un parametro chiamato "frequenza angolare" o "pulsazione del moto", di dimensioni rad/s;
-
[math]\phi[/math]
è un parametro chiamato "fase", ed è legato alla posizione iniziale del punto materiale.

Un moto armonico si può considerare anche come la proiezione di un moto circolare uniforme su un asse cartesiano.

Il periodo del moto armonico è legato alla frequenza angolare dalle seguenti equazioni:

[math]T=2 \pi \omega [/math]
si definisce frequenza (
[math]\nu[/math]
)
[math]\nu = \frac {\omega}{2 \pi} [/math]

Moto Armonico: dinamica
Un punto materiale descrive un moto armonico se è soggetto alla forza di richiamo "elastica"

[math]\vec F = - k \vec r[/math]
dove il vettore
[math]\vec r[/math]
indica lo spostamento dall'origine delle coordinate;

Ricaviamo la soluzione del moto facendo uso del calcolo differenziale ed integrale.
L'equazione della dinamica

[math]\vec F = m \vec a = m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2}[/math]
assume forma
[math] m \frac{d^2 \vec r}{ d t^2} = - k \vec r[/math]
;
ovvero
[math] \frac{d^2 \vec x}{ d t^2} + \omega^2 \vec r = 0[/math]
,
dove è stato introdotto
[math] \omega = \sqrt{\frac k m}[/math]
.

La soluzione generale dell'equazione differenziale del moto è del tipo

[math] \vec r(t) = \vec r_0 \cos (\omega t) + \vec v_0 sin (\omega t) [/math]
,
che è riscrivibile come
[math] \vec r(t) = \vec \alpha cos (\omega t + \phi)[/math]
.

Moto Armonico: bilancio energetico

L'energia cinetica di un punto materiale è

[math] E_k = \frac 1 2 m v^2[/math]
L'energia potenziale di un punto materiale in un campo di forze del tipo
[math]\vec F = - k \vec r[/math]
è
[math] U = \frac 1 2 k r^2[/math]

Segue che l'energia totale, ovvero la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è costante durante il moto armonico, e vale:

[math] E = E_k + U =\frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 k r^2 [/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Cos'è il moto armonico e quali sono le sue caratteristiche principali?

    2. Il moto armonico è il moto di un punto materiale il cui spostamento varia secondo la legge \(x(t) = x_0 \cos(\omega t + \phi)\), dove \(x_0\) è l'ampiezza, \(\omega\) è la frequenza angolare e \(\phi\) è la fase. Questo tipo di moto può essere visto anche come la proiezione di un moto circolare uniforme su un asse cartesiano.

  2. Qual è la relazione tra periodo e frequenza angolare nel moto armonico?

    3. Il periodo del moto armonico è legato alla frequenza angolare dalla formula \(T = 2 \pi \omega\), mentre la frequenza \(\nu\) è definita come \(\nu = \frac{\omega}{2 \pi}\). Queste relazioni evidenziano come il tempo di un ciclo completo sia inversamente proporzionale alla frequenza.

  3. Come si conserva l'energia nel moto armonico?

    4. Durante il moto armonico, l'energia totale, che è la somma dell'energia cinetica \(E_k = \frac{1}{2} m v^2\) e dell'energia potenziale \(U = \frac{1}{2} k r^2\), rimane costante. Questo significa che l'energia si scambia tra cinetica e potenziale, ma la somma totale non varia.

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