Punto di massimo relativo
Consideriamo la funzione[math] y = f(x) [/math]
, definita in un intervallo [math] I [/math]
. Se [math] c [/math]
è un punto dell'intervallo [math] I [/math]
, si dice che [math] c [/math]
è un punto di massimo relativo per la funzione [math] f(x) [/math]
se esiste un intorno di [math] c [/math]
, contenuto in [math] I [/math]
, tale che, per tutti i punti [math] x [/math]
di tale intorno, si abbia: [math] f(x) \le f(c) [/math]
.Quindi, il valore
[math] f(c) [/math]
è il valore massimo che la funzione assume nell'intorno considerato di [math] c [/math]
, e quindi [math] f(c) [/math]
viene definito massimo relativo della funzione [math] f(x) [/math]
.
Punto di minimo relativo
Consideriamo sempre una generica funzione[math] y = f(x) [/math]
, definita in un intervallo [math] I [/math]
. Se [math] c [/math]
è un punto dell'intervallo [math] I [/math]
, diciamo che [math] c [/math]
è un punto di minimo relativo per la funzione [math] f(x) [/math]
se esiste un intorno di [math] c [/math]
, contenuto in [math] I [/math]
, tale che, per tutti i punti [math] x [/math]
di tale intorno, si ha: [math] f(x) \ge f(c) [/math]
.Quindi, in questo caso, il valore
[math] f(c) [/math]
è il valore minimo che la funzione assume nell'intorno considerato di [math] c [/math]
, e quindi [math] f(c) [/math]
viene definito minimo relativo della funzione [math] f(x) [/math]
.I punti
[math] c [/math]
di massimo e minimo vengono anche definiti punti estremanti per la funzione, e i loro corrispettivi valori [math] f(c) [/math]
si definiscono estremi relativi.In particolare, i massimi e i minimi relativi vengono anche definiti massimi e minimi locali, in quanto si riferiscono solo ad un particolare intorno del punto
[math] c [/math]
, e non in tutto l'intervallo [math] I [/math]
, in cui la funzione può avere più di un punto di massimo o minimo relativo.
Estremi relativi forti e deboli
Consideriamo la funzione[math] y = f(x) [/math]
, definita in un intervallo [math] I [/math]
, e sia [math] c [/math]
un punto di massimo relativo per [math] f(x) [/math]
. Ciò significa che esiste un intorno di [math] c [/math]
in cui ( f(x) le f(c) ). Se esiste un intorno di [math] c [/math]
tale che per tutti gli [math] x [/math]
del quale (escluso al più [math] x = c [/math]
) si ha: [math] f(x) > f(c) [/math]
allora [math] c [/math]
viene definito punto di massimo relativo forte (o proprio) e [math] f(c) [/math]
di dice massimo relativo forte.Altrimenti,
[math] c [/math]
si definisce punto di massimo relativo debole (o improprio), e [math] f(c) [/math]
è un massimo relativo debole.Allo stesso modo, se esiste un intorno di
[math] c [/math]
in cui per tutti gli [math] x [/math]
di tale intorno (escluso al più [math] x = c [/math]
) si ha: [math] f(x) > f(c) [/math]
[math] c [/math]
viene definito punto di minimo relativo forte (o proprio) e [math] f(c) [/math]
si dice minimo relativo forte.In caso contrario,
[math] c [/math]
si definisce punto di minimo relativo debole (o improprio), e [math] f(c) [/math]
è un minimo relativo debole.
Il punto di flesso
Consideriamo una funzione[math] y = f(x) [/math]
; se esiste la retta, non parallela all'asse [math] y [/math]
, tangente al grafico della funzione nel punto [math] (x_0 ; f(x_0)) [/math]
, e se esiste un intorno di [math] x_0 [/math]
, che indichiamo [math]( (x_0 - \delta; x_0 + \delta) ) [/math]
in cui la funzione, in corrispondenza dell'intorno destro e sinistro, si trovi in parti opposte rispetto alla retta tangente, allora il punto [math] (x_0 ; f(x_0)) [/math]
è un flesso della curva di equazione [math] y = f(x) [/math]
.In particolare, ricordiamo che se la funzione è derivabile nel punto
[math] x_0 [/math]
, la retta tangente ha equazione: [math] t(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0) [/math]
In base alla posizione della funzione rispetto alla retta tangente e agli interni destro e sinistro, possiamo classificare i flessi in flessi ascendenti e discendenti.
Nel caso in cui si abbia
[math] \begin{cases} f(x) \le t(x) \text{ per } x_0 - \delta \le x \le x_0 \\
f(x) \ge t(x) \text{ per } x_0 \le x \le x_0 + \delta \end{cases} [/math]
f(x) \ge t(x) \text{ per } x_0 \le x \le x_0 + \delta \end{cases} [/math]
il flesso è ascendente.
Altrimenti, se abbiamo:
[math] \begin{cases} f(x) \ge t(x) \text{ per } x_0 - \delta \le x \le x_0 \\
f(x) \le t(x) \text{ per } x_0 \le x \le x_0 + \delta
\end{cases} [/math]
f(x) \le t(x) \text{ per } x_0 \le x \le x_0 + \delta
\end{cases} [/math]
allora, il flesso è discendente.
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