Indice
- Punto di massimo relativo
- Punto di minimo relativo
- Estremi relativi forti e deboli
- Il punto di flesso
Punto di massimo relativo
Consideriamo la funzione
, definita in un intervallo
. Se
è un punto dell'intervallo
, si dice che
è un punto di massimo relativo per la funzione
se esiste un intorno di
, contenuto in
, tale che, per tutti i punti
di tale intorno, si abbia: [ f(x) le f(c) ]
Quindi, il valore
è il valore massimo che la funzione assume nell'intorno considerato di
, e quindi
viene definito massimo relativo della funzione
.
Punto di minimo relativo
Consideriamo sempre una generica funzione
, definita in un intervallo
.
Se
è un punto dell'intervallo
, diciamo che
è un punto di minimo relativo per la funzione
se esiste un intorno di
, contenuto in
, tale che, per tutti i punti
di tale intorno, si ha: [ f(x) ge f(c) ]
Quindi, in questo caso, il valore
è il valore minimo che la funzione assume nell'intorno considerato di
, e quindi
viene definito minimo relativo della funzione
.
I punti
di massimo e minimo vengono anche definiti punti estremanti per la funzione, e i loro corrispettivi valori
si definiscono estremi relativi.
In particolare, i massimi e i minimi relativi vengono anche definiti massimi e minimi locali, in quanto si riferiscono solo ad un particolare intorno del punto
, e non in tutto l'intervallo
, in cui la funzione può avere più di un punto di massimo o minimo relativo.
Estremi relativi forti e deboli
Consideriamo la funzione
, definita in un intervallo
, e sia
un punto di massimo relativo per
. Ciò significa che esiste un intorno di
in cui ( f(x) le f(c) ). Se esiste un intorno di
per tutti gli
del quale (escluso al più
) si ha: [ f(x) lt f(c) ]
allora
viene definito punto di massimo relativo forte (o proprio) e
di dice massimo relativo forte.
Altrimenti,
si definisce punto di massimo relativo debole (o improprio), e
è un massimo relativo debole.
Allo stesso modo, se esiste un intorno di
in cui per tutti gli
di tale intorno (escluso al più
) si ha: [ f(x) gt f(c) ]
viene definito punto di minimo relativo forte (o proprio) e
si dice minimo relativo forte.
In caso contrario,
si definisce punto di minimo relativo debole (o improprio), e
è un minimo relativo debole.
Il punto di flesso
Consideriamo una funzione
; se esiste la retta, non parallela all'asse
, tangente al grafico della funzione nel punto
, e se esiste un intorno di
, che indichiamo ( (x_0 - delta; x_0 + delta) ) in cui la funzione, in corrispondenza dell'intorno destro e sinistro, si trovi in parti opposte rispetto alla retta tangente, allora il punto
è un flesso della curva di equazione
.
In particolare, ricordiamo che se la funzione è derivabile nel punto
, la retta tangente ha equazione: [ t(x) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) ]
In base alla posizione della funzione rispetto alla retta tangente e agli interni destro e sinistro, possiamo classificare i flessi in flessi ascendenti e discendenti.
Nel caso in cui si abbia
( \begin{cases} f(x) le t(x) \text{ per } x_0 - delta lt x lt x_o \ f(x) ge t(x) \text{ per } x_0 lt x lt x_0 + delta end{cases} )
il flesso è ascendente.
Altrimenti, se abbiamo:
( \begin{cases} f(x) gt t(x) \text{ per } x_0 - delta lt x lt x_0 \ f(x) le t(x) \text{ per } x_0 lt x lt x_0 + delta end{cases} )
allora, il flesso è discendente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
