Funzioni reali
Definizione di funzione
Siano
[math]A[/math]
e [math]B[/math]
due insiemi non vuoti.Si dice funzione (o applicazione) definita in
[math]A[/math]
e a valori in [math]B[/math]
, una legge [math]f:A \rightarrow B[/math]
che ad ogni elemento di [math]A[/math]
associa uno e un solo elemento di [math]B[/math]
.In questo caso, l’insieme
[math]A[/math]
costituisce il dominio della funzione [math]f[/math]
, l’insieme [math]B[/math]
il codominio.Si definisce immagine della funzione
[math]f[/math]
il sottoinsieme di [math]B[/math]
(al più coincidente con [math]B[/math]
) i cui elementi (detti immagini) sono associati agli elementi dell’insieme [math]A[/math]
(detti controimmagini o preimmagini) attraverso [math]f[/math]
.
Funzione inversa
Sia
[math]f:A \rightarrow B[/math]
una generica funzione definita nell’insieme [math]A[/math]
e a valori in [math]B[/math]
.Si definisce inversa della funzione
[math]f[/math]
la funzione [math]f^{-1}: B \rightarrow A[/math]
definita in [math]B[/math]
e a valori in [math]A[/math]
, tale che:
[math]f(f^{-1}(b)) = b \forall b \in B[/math]
[math]f^{-1}(f(a)) = a \forall a \in A[/math]
NOTA: le funzioni che ammettono la definizione dell’inversa si dicono invertibili e non tutte lo sono.
Composizione di funzioni
Siano
[math]f:A \rightarrow B[/math]
e [math]g:B \rightarrow C[/math]
due generiche funzioni, l’una definita in [math]A[/math]
e a valori in [math]B[/math]
, l’altra definita in [math]B[/math]
e a valori in [math]C[/math]
.Si dice composta di
[math]f[/math]
e [math]g[/math]
la funzione così definita:
[math](g \cdot f) = g[f(a)] \forall a \in A[/math]
Essa è ottenuta a partire da
[math]f(x)[/math]
(detta funzione interna), applicando a quest’ultima la funzione [math]g[/math]
(funzione esterna)Perché due funzioni siano componibili è necessario che il dominio della funzione esterna coincida con l’immagine della funzione interna.
Classificazione insiemistica delle funzioni
Sia
[math]f: A \rightarrow B[/math]
una generica funzione definita in [math]A[/math]
e a valori in [math]B[/math]
.La funzione
[math]f[/math]
è iniettiva se e solo se ad elementi distinti del dominio [math]A[/math]
associa elementi distinti del codominio [math]B[/math]
, cioè se è tale che:
[math]\forall a_1, a_2 \in A \text{ con } a_1 \neq a_2, f(a_1) \neq f(a_2)[/math]
La funzione
[math]f[/math]
è suriettiva se e solo se la sua immagine coincide con il codominio [math]B[/math]
, cioè se:
[math]\forall b \in B \exists a \in A | f(a) = b[/math]
La funzione
[math]f[/math]
è biiettiva o biunivoca se è sia iniettiva, sia suriettiva.NOTA: le funzioni biunivoche sono le sole invertibili.
Rappresentazione grafica delle funzioni
Sia
[math]f:A \rightarrow B[/math]
una funzione definita in [math]A[/math]
e a valori in [math]B[/math]
, con [math]A, B \in \textbf{R}[/math]
.Costituisce il grafico della funzione
[math]f[/math]
l’insieme [math]G[/math]
delle coppie ordinate [math](a,b)[/math]
così definito:
[math]G = \{(a,b) \in R^2 | a \in A, b = f(a) \}[/math]
Nella rappresentazione cartesiana di tale grafico, si considerano due rette orientate perpendicolari dette assi (l’una ascissa, l’altra ordinata), che si intersecano in un punto
[math]O[/math]
detto origine degli assi. Fissata una direzione positiva delle rette ed un’unità di misura, ogni valore della funzione [math]f[/math]
da rappresentare corrisponde a un punto [math](a,b)[/math]
la cui distanza lungo l’asse delle ascisse corrisponde alla lunghezza del segmento [math]Oa[/math]
e lungo l’asse delle ordinate alla lunghezza del segmento [math]Ob[/math]
.
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