Cosa sono le traslazioni e le rotazioni

In quest'appunto troverai delle definizioni e degli esempi riguardanti la traslazione e la rotazione. Inoltre, è presente un esempio commentato nel campo

.

Cosa sono le isometrie e come si classificano

Con il termine isometria, in matematica si indica un moto rigido di un corpo esprimibile attraverso una funzione, basata sul concetto di conservazione della distanza tra i punti. Nella maggior parte delle isometrie, inoltre, si conservano anche altre grandezze importanti quali l'ampiezza degli angoli, l'estensione delle aree e la misura delle lunghezze.

Tra le principali isometrie abbiamo:

• le traslazioni
• le rotazioni
• le riflessioni, ossia una trasformazione che fa corrispondere a tutti i punti di un ente geometrico (retta, piano, spazio), rispetto a un altro ente geometrico, un insieme di punti "specchiati"

Approfondiremo le prime due trasformazioni nei prossimi paragrafi.

Dal punto di vista matematico, la funzione che può descrivere una isometria è del tipo

dove le lettere

indicano rispettivamente il dominio e il codominio. Come abbiamo già anticipato, le isometrie sono delle trasformazioni che permettono di conservare la distanza tra coppie di punti corrispondenti nel dominio e nel codominio. In particolare, per ogni coppia di punti

appartenente all'insieme del dominio può essere scritta l'uguaglianza tra le distanze tra le immagini e le controimmagini, ossia:

Questa funzione è sicuramente iniettiva, poiché ad ogni elemento del codominio corrisponde un elemento del dominio, tuttavia alcuni elementi del codominio potrebbero non avere corrispondenze nel dominio. Essa potrebbe comunque non essere suriettiva poiché, in alcuni casi, una controimmagine non corrisponde a più elementi del dominio.

Cosa significa traslare un corpo nello spazio

Il verbo traslare è utilizzato nella vita quotidiana per esprimere lo spostamento rigido di un corpo rispetto a un punto di riferimento rispetto a una sola direzione. Un corpo, infatti, può traslare sia orizzontalmente (nella direzione dell'asse delle ascisse) che verticalmente (nella direzione dell'asse delle ordinate).

Dal punto di vista matematico, essa può essere rigorosamente definita in questo modo. Fissato un vettore

, si definisce traslazione di ampiezza

l’applicazione

definita da

Osservazioni relative alla traslazione di un corpo

La traslazione di ampiezza

e l’identità , cioè

.
Una traslazione che non è l’identità non ha punti fissi.

Quali sono le equazioni di una traslazione

Fissato in

un riferimento cartesiano

, se

si ha:

.
Ogni traslazione è quindi un’isometria diretta di

, la cui matrice associata è la matrice identica

. Viceversa, ogni isometria la cui matrice associata è

ed è una traslazione.

Cosa significa ruotare un corpo nello spazio

La terza tipologia di isometria è la rotazione. Dal punto di vista pratico, essa può essere definita come un cambiamento di posizione di un corpo rispetto a una retta passante per il proprio polo, detta asse di rotazione. Un corpo potrebbe traslare e ruotare contemporaneamente: in questo caso, si parla di rototraslazione. Un esempio di rototraslazione è il movimento di un pallone da calcio durante una partita: esso, infatti, compie sia una traslazione lungo l'asse orizzontale che una rotazione attorno al suo centro di massa.

La rotazione può essere descritta in maniera rigorosa attraverso la seguente definizione.
Un’isometria diretta

dello spazio euclideo

che lascia fissi tutti i punti di un sottospazio

si dice rotazione intorno ad

. Il sottospazio

è detto spazio di rotazione di

. Se

allora

è detto rispettivamente centro, asse, piano di rotazione.

Esempio: come effettuare una rotazioni in E^2

L’applicazione

:

definita, rispetto ad un riferimento cartesiano

,
dalle equazioni:

con

e una rotazione attorno ad un punto (= unico punto fisso di

). Inoltre tutte le rotazioni di

hanno equazioni di questo tipo.

Per ulteriori approfondimenti su rotazioni e traslazioni vedi anche qui