Piano cartesiano - Definizione, esercizi e formule

In algebra molto importante è la definizione e le regole del piano cartesiano. Quest'ultimo viene sempre individuato mediante due rette perpendicolari che di norma si incontrano in un determinato punto, definito punto 0, il quale è l'origine del piano cartesiano. Vengono riportate le principali caratteristiche del piano cartesiano e il legame tra rette perpendicolari e il piano cartesiano.

Piano cartesiano, definizione

Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano.

-Si fissa sulla retta orizzontale il verso positivo che per convenzione è quello da sinistra a destra.

-Il verso positivo sulla retta verticale è per convenzione dal basso verso l’alto.

-Si fissa la stessa unità di misura su entrambe le rette a partire dall’origine O.

-La retta orizzontale prende il nome di asse delle x o delle ascisse, e la retta verticale prende il nome di asse delle y o delle ordinate.

-I due assi individuano quattro angoli che prendono il nome di quadranti che vengono numerati a partire da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario.

-Ogni punto del piano cartesiano individua una coppia di numeri sugli assi cartesiani individuata tracciando le distanze (i segmenti di perpendicolare) del punto degli assi. Ogni coppia ordinata di numeri individua un punto nel piano cartesiano e quindi si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie ordinate di numeri.
Tale coppia viene detta coppia di coordinate del punto dato: il primo numero viene detto ascissa e il secondo viene detto ordinata.

Piano cartesiano, caratteristiche

Il piano cartesiano, come dice la definizione stessa, è il piano idealizzato e teorizzato da Cartesio, filosofo e matematico. Il piano è formato da due rette, che si intersecano tra di loro formano esattamente quattro angoli retti, ovvero angoli di 90°. La retta orizzontale, è chiamata, asse delle ordinate; la retta verticale, è chiamata, asse delle ascisse. Sono due rette caratterizzate dalla presenza di numeri reali, dove troviamo anche i numeri relativi, ovvero numeri interi con il segno + o -, includendo lo zero (l’insieme dei numeri relativi è un sottoinsieme dell’insieme dei numeri reali). Il piano è diviso in quattro quadranti: il primo quadrante è caratterizzato da ascisse e ordinate positive; il secondo da ascisse negative e ordinate positive; il terzo da ascisse negative e ordinate negative; il quarto da ascisse positive e ordinate negative. Le coordinate cartesiano sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di un punto. Servono per trovare o localizzare o posizionale un punto. Inoltre, c’è da dire che, il piano è caratterizzato da due rette, la bisettrice del primo e terzo quadrante, e la bisettrice del secondo e terzo quadrante. I due assi, quello delle ascisse e quello delle ordinate vengono indicati con una freccetta alla fine di ogni asse. La freccetta viene utilizzata per indicare il verso di ogni asse. In più non dimentichiamo di inserire l’origine, con il simbolo O, nel punto di intersezione dell’asse x e l’asse y.

Piano cartesiano, cos'è

Il piano cartesiano è quando ogni suo punto può esser individuato mediante una coppia di coordinate. Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro parti detti quadranti.

Rette e piano cartesiano

L’ascissa e l’ordinata del punto medio M di un segmento [AB] nel piano cartesiano sono uguali, rispettivamente, alla semisomma delle ascisse e alla semisomma delle ordinate degli estremi A e B del segmento dato.
La misura della distanza di due punti paralleli all’asse delle x è uguale al valore assoluto della differenza fra l’asse delle x considerate.
La misura della distanza di due punti paralleli all’asse delle y è uguale al valore assoluto della differenza fra l’asse delle y considerate.
La distanza di due punti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze fra le ascisse.
L’equazione dell’asse delle ascisse è Y=0.
L’equazione dell’asse delle ordinate è X=A.
L’equazione di una retta perpendicolare all’asse delle ascisse è Y=K.
L’equazione di una retta perpendicolare con le asse delle ordinate è X=K.
Un’equazione del tipo Y=MX (con M un numero qualsiasi) ha per diagramma cartesiano una retta passante per l’origine degli assi.
Il coefficiente M si chiama il coefficiente angolare della retta e indica l’inclinazione della retta cioè l’angolo che la retta con il semiasse positivo delle ascisse.
Se M è positivo la retta passa per il primo e per il terzo quadrante.
Se M è negativo la retta passa per il secondo e per il quarto quadrante.
L’equazione Y=X è l’equazione della bisettrice del primo e del terzo quadrante.
L’equazione Y=-X è l’equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Due rette sono parallele quando hanno i coefficienti angolari uguali.
Due rette sono perpendicolari quando i coefficienti angolari sono discordi e con il valore assoluto uno inverso dell’altro.

Operazioni fondamentali con i punti nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano, ci capiterà di svolgere importanti operazioni, con delle figure geometriche utilizzando i punti del piano e lavorando a stretto contatto con le coordinate cartesiane dei punti interessati. Ricordiamo che le coordinate cartesiane di un punto sono, rispettivamente, l'ascissa e l'ordinata. Allora, supponiamo di avere due punti A(3;5) e B(4;3): troviamo la distanza tra questi due punti. La formula da applicare è: AB= √(xB-xA)^2+ (yB-yA)^2= √(4-3)^2+(3-5)^2=√1+4. Il risultato ottenuto è, quindi = √5. Ora nel piano cartesiano possiamo anche calcolare il punto medio tra due punti. La formula che si deve applicare è: Xm= (xA+xB)/2. Ora, la cosa più importante in questo caso, è il poter calcolare il perimetro e l'area di figure geometriche, nel piano. Se dovessimo calcolare il perimetro e l'area di un triangolo come dovremmo fare? Allora prima di tutto diciamo che se stiamo parlando di un triangolo dobbiamo avere, per partire, tre punti. Successivamente per calcolare il perimetro della figura, dobbiamo calcolare la misura dei tre lati. Per calcolare la misura dei tre lati dobbiamo utilizzare la formula della distanza tra due punti. Per esempio: siano A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3). Dopo aver fissato i punti sul piano cartesiano possiamo trovare i tre lati, cercando AB, AC, e CB. Dopo ciò possiamo calcolare il perimetro della figura richiesta, in questo caso un triangolo. Per calcolare l'area di un triangolo, invece, dobbiamo usare sia la formula del punto medio e sia la formula della distanza tra due punti. Sappiamo che l'area di un triangolo è A= (b*h)/2. La base, CB, è già stata calcolata; dobbiamo trovare solo l'altezza AH. Ora nel caso sia un triangolo equilatero, possiamo trovare il punto medio della base CB e attraverso la formula della distanza tra due punti possiamo calcolare l'altezza utilizzando le coordinate cartesiane del punto medio, trovate, e le coordinate cartesiane del punto A. Nel caso in cui non sia un triangolo equilatero non possiamo utilizzare la formula del punto medio, ma basarci sui dati che vengono forniti dal problema.

Autori che hanno contribuito al presente documento: Dany91, coccoseplpa, eminem95823, RitaeAlessio.