Cosa sono le equazioni logaritmiche e come si svolgono

In questo appunto di matematica sono contenute tutte le informazioni riguardanti la scrittura di un'equazione logaritmica in forma canonica e i principali metodi di risoluzione.

Cos'è un logaritmo naturale e un'equazione logaritmica e come scriverla in forma canonica

Si chiama equazione logaritmica un'equazione in cui l'incognita appare nell'argomento di uno o più logaritmi e in nessun altro luogo.
All'interno di un'equazione logaritmica, i logaritmi possono avere diverse basi: quando la base dei logaritmi è il numero di Nepero, il logaritmo prende il nome di logaritmo naturale. Un altro tipo di logaritmo molto utilizzato è il logaritmo in base dieci.

Le equazioni logaritmiche possono presentarsi in forma canonica: ciò accade quando è scritta in questi termini:

, ed è fondamentale che sia un numero maggiore di 0.

Come risolvere un'equazione logaritmica

La prima cosa da fare per risolvere un'equazione logaritmica consiste nel riscriverla in forma canonica; ci si può spesso giungere agevolmente ricorrendo alle proprietà di prodotto, quoziente, potenza e cambio di base dei logaritmi.
Una volta che l'equazione si presenta nella forma canonica ci occorre solo ricordare che dal momento che il logaritmo è una funzione biettiva tra e , è sempre lecito effettuare il passaggio seguente:
dove sono delle funzioni della variabile .

Indipendentemente da quale sia la base

dei logaritmi. Quando si fa questo passaggio, si suole dire che si è "passati agli argomenti", dal momento che tutto ciò che resta nella seconda equazione sono gli argomenti dei logaritmi che avevamo prima. Da questo punto in avanti l'equazione, che adesso è puramente algebrica, si può risolvere con qualcuno dei metodi già studiati.

Una volta ottenute le soluzioni, bisogna verificare che esse siano accettabili. Può infatti capitare che qualcuna delle soluzioni ottenute non cada all'interno di tutti i domini dei logaritmi considerati nell'equazione, e quindi debba essere scartata. Al limite, se tale condizione si verifica per tutte le soluzioni trovate, si dirà che l'equazione logaritmica è impossibile.

Come già detto, il metodo risolutivo esposto funziona solo se l'equazione logaritmica da risolvere è in forma canonica. Malgrado sia vero che, con opportune applicazioni delle proprietà dei logaritmi, molte equazioni logaritmiche si possono ricondurre alla forma canonica. Tuttavia, le funzioni

e risultanti non sono sempre tanto semplici da consentire il calcolo delle soluzioni.

Quello che in realtà si suppone si stia facendo nel momento in cui si passa agli argomenti è il seguente passaggio, che viene solitamente omesso:

Come si vede, esso dipende dalla biettività della funzione esponenziale di base . Ci spiega anche perchè, nel caso in cui l'equazione si riduca a , si possa passare direttamente a .

Il fondamentale controllo di validità delle soluzioni provvisorie trovate con il metodo risolutivo precedentemente esposto va effettuato, come si suol dire, a priori o a posteriori. Nel controllo a priori calcoliamo prima i domini dei vari logaritmi imponendo che i loro argomenti siano strettamente positivi, quindi li intersechiamo, ottenendo così il dominio dell'equazione, e infine controlliamo quali delle soluzioni provvisorie appartengono a quest'ultimo.

Spesso però è difficile trovare il dominio di un logaritmo. In questi casi, e solo in questi, si procede con il metodo a posteriori, che consiste nel sostituire una alla volta le soluzioni provvisorie nell'equazione e controllare se essa è verificata. Normalmente si preferisce adoperare il metodo a priori perchè quello a posteriori richiede di solito molto più tempo.

Esempi svolti e commentati riguardanti la risoluzione di equazioni logaritmiche

Esempio n°1

Si vuole risolvere l'equazione L'equazione data è logaritmica, perchè come da definizione l'incognita figura solo negli argomenti di alcuni dei logaritmi presenti. Essa non è però in forma canonica, visto che non è un'uguaglianza di due logaritmi. Per questo motivo, i primi passaggi saranno volti a rendere canonica l'equazione:

Nel primo passaggio abbiamo applicato sia la regola del logaritmo di una potenza per portare il fattore 2 all'esponente della

, sia il cambiamento di base per trasformare in logaritmo naturale l'unico logaritmo presente la cui base non era . Dopo alcuni passaggi algebrici, abbiamo applicato la regola del quoziente e ottenuto così un'equazione in forma canonica. Si noti che avremmo potuto ottenere, con diversi passaggi, più equazioni diverse tutte in forma canonica e tutte, naturalmente, equivalenti.
Come detto nel metodo risolutivo, dobbiamo adesso passare agli argomenti. Dunque si ha
cosicchè 2 e sono le soluzioni provvisorie. Controlliamo adesso se sono accettabili, calcolando il dominio dell'equazione logaritmica a priori:

Visto che

, la prima delle due soluzioni provvisorie è accettabile. Lo stesso però non si può dire della seconda, visto che . Ne consegue che l'unica soluzione della nostra equazione logaritmica è .

Esempio n°2

Si vuole risolvere l'equazione .
In questo caso risulta piuttosto difficile calcolare a priori il dominio dell'equazione, a causa dell'argomento del primo logaritmo. Tenteremo allora di risolverla e ottenere le soluzioni provvisorie, per poi controllare a posteriori se queste sono accettabili o meno. Agiremo cioè come illustrato precedentemente.
Osserviamo prima di tutto che, a causa del fatto che la compare sotto radice quadrata, necessariamente sarà . Dunque si può senz'altro applicare la regola del logaritmo di una potenza al secondo membro e portare in forma canonica l'equazione:

Passando, com'è lecito, agli argomenti, avremo

, cioè ; l'iniettività della funzione esponenziale ci assicura allora che l'unica eventuale soluzione sarà .
Quando per passiamo al controllo di accettabilità, scopriamo che l'argomento del primo logaritmo, e in verità anche quello del secondo, si annulla per . Dovendo esso essere strettamente positivo, l'unica soluzione provvisoria va scartata. Ne consegue che l'equazione logaritmica in realtà è impossibile.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni logaritmiche vedi anche qua