Sottospazi euclidei

Sottospazi euclidei

Dati P ∈ En e H~ sottospazio vettoriale di E~n il sottospazio euclideo passante per P e avente giacitura H~ `e il sottoinsieme di E^n:
H = {Q ∈ En|−→PQ ∈ H} ~
La dimensione di H `e dim H~ .
- I sottospazi di dimensione 0 sono i punti
- I sottospazi di dimensione 1 si dicono rette
- I sottospazi di dimensione 2 si dicono piani
- I sottospazi di dimensione n − 1 si dicono iperpiani
Osservazione: H~ = {−→AB | A, B ∈ H}.
Osservazione: l’intersezione di sottospazi euclidei `e ancora un sottospazio euclideo.
Mutue posizioni di sottospazi
Definizione
Due sottospazi euclidei H, K di E
- si dicono paralleli, e si indica H//K, se H ⊆~ K~ o K ⊆ ~ H~ ;
- si dicono disgiunti se H ∩ K = ∅. Altrimenti si dicono incidenti;
- si dicono sghembi se non sono n`e paralleli n`e incidenti.
Osservazione: Se H e K sono paralleli e incidenti, dim H e dim H = dim K =⇒ H = K
Teorema
Dato un sottospazio euclideo h-dimensionale H di E ed un punto P ∈ E, esiste uno ed un solo sottospazio euclideo h-dimensionale di E, contenente P e parallelo a H.
Riferimenti e coordinate cartesiane
Un riferimento cartesiano su E^n `e una coppia R = (O, B~), dove O `e un punto di E^n , detto origine del riferimento e B~ `e una base ordinata ortonormale di E~n.