Come effettuare correttamente uno studio di funzione

In quest'appunto è contenuta un'introduzione generale sulle funzioni e una guida step by step sullo svolgimento dello studio di funzione completo e corretto.

Cos'è una funzione e a cosa serve

La funzione è una relazione matematica che unisce due insiemi, il dominio e il codominio.

Tale relazione ha una caratteristica particolare: a ogni elemento del dominio corrisponde soltanto un elemento del codominio.
In altre parole, indicata con

la funzione e con le lettere

rispettivamente dominio e codominio, una funzione può essere indicata con la terminologia:

In matematica esistono molte funzioni. Tra quelle numeriche più famose ricordiamo le funzioni polinomiali, le irrazionali e le razionali. Anche le funzioni trascendenti sono fondamentali: esse sono le funzioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche.

Come effettuare correttamente lo studio di funzione

Lo studio di funzione è una tipologia di esercizio che consente di definire alcune caratteristiche della funzione all'interno del suo insieme di definizione, ossia all'interno del suo dominio. Alcune di queste caratteristiche sono, ad esempio, la presenza di punti di massimo o di minimo, l'esistenza di punti di flesso e gli intervalli di crescita e decrescita della funzione.

Per effettuare correttamente lo studio di funzione è necessario seguire alcuni step elencati nei prossimi paragrafi.

Valutare l'insieme di definizione della funzione (calcolo del dominio)

Per valutare l'estensione del dominio, è sufficiente individuare in quali punti o intervalli di

la funzione non è definita, ossi i punti e gli insiemi di punti in cui la funzione non ha senso valutare la funzione.

Le condizioni di esistenza delle principali funzioni sono:

• per le funzioni razionali: il denominatore dev'essere
  [math]\neq 0[/math]
• per le funzioni logaritmiche: argomento maggiore di
  [math]0[/math]
  , base maggiore di
  [math]0[/math]
  e
  [math]\neq 1[/math]
• per le funzioni irrazionali aventi radici con indici pari: radicando maggiore uguale a zero
• per le funzioni arcoseno/arcocoseno: l'argomento dev'essere compreso tra
  [math]-1[/math]
  e
  [math]1[/math]
• per le funzioni esponenziali: la base dev'essere maggiore di
  [math]0[/math]
• per le funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante il denominatore dev'essere diverso da
  [math]0[/math]

Studiare la parità e la disparità della funzione

Per studiare la parità e la disparità di una funzione bisogna effettuare il calcolo di

. Se

allora la funzione è pari e ha grafico simmetrico rispetto l’asse

.
Se

allora la funzione è dispari e ha grafico simmetrico rispetto l’origine degli assi.

Studiare i punti di intersezione con gli assi

Pongo

e trovo le intersezioni con l’asse

, poi

e trovo le intersezioni con l’asse

.

Studiare il segno della funzione

Pongo

e trovo dove la funzione è positiva e dove negativa.

Studiare i limiti agli estremi per valutare il comportamento della funzione

Svolgo i limiti negli estremi del dominio e negli estremi dell’insieme di definizione.
Se

allora è presente un asintoto orizzontale. Se, invece, il

allora vi è un asintoto verticale.
Inoltre, se

, allora

è un asintoto obliquo.

Studio della derivata prima della funzione

Lo studio della derivata prima consente di valutare i punti di massimo e di minimo relativi e assoluti. In primis bisogna effettuare il calcolo della derivata prima

e l'opportuno dominio.
Imponendo

è possibile trovare le coordinate di tali punti caratteristici. Per verificare, tuttavia, se si tratta di un minimo o di un massimo è necessario studiare il segno della derivata

. Negli intervalli in cui la derivata è positiva la funzione è crescente, negli intervalli in cui la derivata è negativa la funzione è decrescente.

Un punto caratteristico è un minimo se nel suo intorno destro la funzione cresce e nel suo intorno sinistro la funzione decresce. Si definisce massimo, invece, se l'andamento è opposto.

Studio della derivata seconda della funzione

Lo studio della derivata seconda viene utilizzata per valutare la concavità della funzione, fondamentale per la realizzazione di un grafico qualitativo verosimile.
Studio

: dove questa quantità è maggiore di

, la concavità è posizionata verso l’alto. Dove invece la derivata seconda è negativa, la concavità è rivolta verso il basso. Nei punti di raccordo potrei avere punti di flesso.

Costruire il grafico della funzione

Costruisco il grafico della funzione attraverso le informazioni ottenute e, se necessario, ricavandone alcuni punti.

Per ulteriori approfondimenti sullo studio di funzione vedi anche qui