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Il metodo di Cramer


Il metodo di Cramer (o regola di Cramer) è uno dei metodi utilizzati per risolvere (cioè trovare la soluzione) di un sistema di equazioni lineari formato da equazioni con altrettante incognite.
Altri metodi ad esempio sono quello della sostituzione, del confronto o il metodo grafico, nel merito dei quali non entriamo.

Volendo essere esatti, il metodo di Cramer è applicabile in svariate situazioni oltre al già citato caso di sistema di equazioni lineari con numero di incognite pari a quello delle equazioni. Per esempio per risolvere sistemi di equazioni rettangolari o sistemi con equazioni in numero minore alle incognite.

Tuttavia in questo appunto ci si limiterà ad illustrare solo il primo caso, essendo la sua applicazione più frequente/comune.

Per comprendere compiutamente il metodo di Cramer (cioè capire quale sia il suo significato) occorrerebbe conoscere l'algebra matriciale o il calcolo matriciale. Ma tali argomenti richiederebbero una trattazione specifica a parte, e quindi non verranno trattati nei presenti appunti. Ci limiteremo dunque unicamente ad illustrare il metodo di Cramer non in un modello generale, ma partendo dalle sue applicazioni.

Supponiamo dunque che sia stato assegnato un sistema di equazioni lineari con due incognite. Provvederemo immediatamente (qualora non venissero assegnate in questa forma) a scrivere le due equazioni esplicitandole rispetto al termine noto. Il sistema, in altre parole, apparirà in questa forma:

[math]\begin{cases} a1x + b1y = c1 \\ a2x + b2y = c2,
\end{cases}[/math]

Per poter applicare il metodo, la prima cosa da fare è accertarsi che il sistema sia determinato, e quindi non impossibile, cioè ammetta soluzione.
Per farlo è necessario creare una matrice formata dai quattro coefficienti di x e y:


[math]\begin{vmatrix} a1 & b1 \\ a2 & b2 \end{vmatrix}[/math]

Il calcolo


Formata la matrice, occorre eseguite il seguente calcolo:
[math]\begin{vmatrix} a1 & b1 \\ a2 & b2 \end{vmatrix} = (a1 \cdot b2) - (a2 \cdot b1) = \triangle[/math]

Questo permette di calcolare il determinante della matrice D, detto anche determinante dei termini noti. Tale determinante potrà essere uguale o diverso da zero.

Se D=0, il sistema è impossibile o indeterminato, e sarà dunque inutile proseguire.
Se invece D≠0, il sistema è determinato, e possiamo procedere alla ricerca della soluzione.
Tale soluzione saranno il corretto valore delle incognite "x" e "y" in grado di soddisfare il sistema.

Per far questo occorre costruire il cosiddetto determinante dell'incognita x. Esso si ottiene costruendo una matrice simile alla precedente, dove al posto dei coefficienti della x saranno presenti i termini noti delle due equazioni.


[math]\begin{vmatrix} c1 & b1 \\ c2 & b2 \end{vmatrix} = (c1 \cdot b2) - (c2 \cdot b1) = \triangle x[/math]

Chiameremo il risultato il determinante della x (Dx), ottenuto agendo sulla matrice con la stessa tecnica precedente.

In modo del tutto analogo possiamo costruire una terza matrice, che ci permetterà di calcolare il determinante dell'incognita y (Dy).

[math]\begin{vmatrix} a1 & c1 \\ a2 & c2 \end{vmatrix} = (a1 \cdot c2) - (a2 \cdot c1) = \triangle y[/math]

Ottenuti in tal modo tre determinanti, sarà possibile calcolare il valore delle incognite.
Infatti:

[math]xo= \frac{Dx}{D}[/math]

[math]yo= \frac{Dy}{D}[/math]

I valori ottenuti (xo,yo) sono le soluzioni del sistema di partenza.

Per completezza si conclude l'appunto facendo presente che il metodo di Cramer così illustrato per risolvere un sistema di equazioni lineari (di primo grado) in due incognite può essere utilizzato per la soluzione di sistemi più complessi, cioè con un numero maggiore di equazioni e quindi di incognite, o per equazioni di grado superiore al primo.

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