Come svolgere correttamente il metodo di Cramer

In quest'appunto troverai una definizione completa del metodo di Cramer, strategia utilizzata per la risoluzione di sistemi lineari a due incognite.

Cos'è il metodo di Cramer e a cosa serve

Il metodo di Cramer (o regola di Cramer) è uno dei metodi utilizzati per risolvere (cioè trovare la soluzione) di un sistema di equazioni lineari formato da

con altrettante incognite. Esistono anche altri metodi per la risoluzione dei sistemi lineari.

I più importanti sono:

• il metodo della sostituzione, che consiste nell'esplicitare in una o più equazioni una o più variabili sostituendo, infine, la quantità o le quantità trovate alle rispettive variabili in un'altra equazione
• il metodo del confronto. Esso è svolto esplicitando la stessa variabile in due equazioni e imponendo l'uguaglianza tra le quantità trovate
• il metodo grafico, che consiste nell'esplicitare una variabile per ogni equazione, per poi realizzare un plot sul piano cartesiano. Le soluzioni corrispondono ai punti di intersezione delle funzioni sul piano o nello spazio (a seconda del numero di equazioni e quindi di variabili presenti)

In quest'appunto, tuttavia, verrà affrontato soltanto il metodo di Cramer.

Volendo essere esatti, il metodo di Cramer è applicabile in svariate situazioni oltre al già citato caso di sistema di equazioni lineari con numero di incognite pari a quello delle equazioni. Per esempio per risolvere sistemi di equazioni rettangolari o sistemi con equazioni in numero minore alle incognite.
Tuttavia in questo appunto ci si limiterà ad illustrare solo il primo caso, essendo la sua applicazione più frequente e comune.

Per comprendere compiutamente il metodo di Cramer (cioè capire quale sia il suo significato) occorrerebbe conoscere l'algebra matriciale o il calcolo matriciale. Ma tali argomenti richiederebbero una trattazione specifica a parte, e quindi non verranno trattati nei presenti appunti. Ci limiteremo dunque unicamente ad illustrare il metodo di Cramer non in un modello generale, ma partendo dalle sue applicazioni.

Supponiamo dunque che sia stato assegnato un sistema di equazioni lineari con due incognite. Provvederemo immediatamente (qualora non venissero assegnate in questa forma) a scrivere le due equazioni esplicitandole rispetto al termine noto. Il sistema, in altre parole, apparirà in questa forma:

Per poter applicare il metodo, la prima cosa da fare è accertarsi che il sistema sia determinato, e quindi non impossibile, cioè ammetta soluzione. Per farlo è necessario creare una matrice formata dai quattro coefficienti di

e

. Si ricorda che i coefficienti sono i valori numerici moltiplicati alla variabile letterale. Quindi:

Come effettuare correttamente i calcoli del metodo di Cramer

Una volta formata la matrice, occorre eseguire il seguente calcolo:

Questo permette di calcolare il determinante della matrice

, detto anche determinante dei termini noti. Tale determinante potrà essere uguale o diverso da zero. In particolare accade che:

• se
  [math]\triangle=0[/math]
  , il sistema è impossibile o indeterminato e sarà dunque inutile proseguire
• se invece
  [math]\triangle\neq 0[/math]
  , il sistema è determinato e possiamo procedere alla ricerca della soluzione. Tale soluzione saranno il corretto valore delle incognite
  [math]x[/math]
  e
  [math]y[/math]
  in grado di soddisfare il sistema

Per far questo occorre costruire il cosiddetto determinante dell'incognita

. Esso si ottiene costruendo una matrice simile alla precedente, dove al posto dei coefficienti della

saranno presenti i termini noti delle due equazioni.

Chiameremo il risultato il determinante della

In modo del tutto analogo possiamo costruire una terza matrice, che ci permetterà di calcolare il determinante dell'incognita

Ottenuti in tal modo tre determinanti, sarà possibile calcolare il valore delle incognite.
Infatti:

I valori ottenuti

sono le soluzioni del sistema di partenza.

Per completezza si conclude l'appunto facendo presente che il metodo di Cramer così illustrato per risolvere un sistema di equazioni lineari (di primo grado) in due incognite può essere utilizzato per la soluzione di sistemi più complessi, cioè con un numero maggiore di equazioni e quindi di incognite, o per equazioni di grado superiore al primo.

Per ulteriori approfondimenti sul metodo di Cramer vedi anche qua