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Definizione di derivata di una funzione reale di variabile reale

Consideriamo una funzione y = f(x) reale di variabile reale definita in un insieme E e sia x0 un punto non isolato di E (cioè appartenente ad E e di accumulazione per E, per fissare le idee si supponga che E sia un intervallo e x0 un punto di questo). Il rapporto

   (1)

rappresenta evidentemente una funzione di x definita nell'insieme E \ {x0}. Se su E esiste finito o infinito il

   (2)

questo si chiama derivata della funzione y = f(x) rispetto alla x nel punto x0 e si indica con uno dei seguenti simboli:

  • notazione di Lagrange: ,
  • notazioni di Cauchy: ,
  • notazioni di Newton: ,
  • notazioni di Leibniz: ,

In particolare, per indicare che la f(x) è dotata di derivata finita in x0 si dice che y = f(x) è derivabile nel punto x0.

La differenza xx0 (positiva o negativa che sia) si chiama incremento della variabile indipendente x relativo al punto x0 e si indica di solito con Δx o con h; si pone cioè

oppure
da cui si ricava
oppure

La differenza f(x) – f(x0) che, in base alle posizioni precedenti può scriversi


 oppure

si chiama incremento della funzione y = f(x) relativo al punto x0 e all'incremento Δx o con h e si indica con Δf o con Δy. Il rapporto (1) si chiama anche rapporto incrementale della funzione y = f(x) relativo al punto x0 e all'incremento Δx (o h) e si indica con

o o o

Poiché riesce evidentemente

o
e inversamente
o

la (2) potrà scriversi:


oppure

Si noti che se y = f(x) è derivabile in tutti i punti di un insieme E privo di punti isolati (per esempio un intervallo) la derivata è una funzione della x0 definita in E e si indica con una delle notazioni introdotte dove al posto di x0 si pone x.

Il problema della tangente ad una curva

È da esso che è scaturito il concetto di derivata. Il problema può essere così enunciato: data una curva qualsiasi, tracciare ad essa la tangente in un suo punto (cioè scoprire un metodo generale per lo studio della tangente ad una curva). Il problema è stato risolto definitivamente e in modo rigoroso da Leibniz.

L'idea di Leibniz

Egli dice: consideriamo un arco di curva continua e sia y = f(x) la sua equazione cartesiana. Consideriamo inoltre un punto P0(x0,y0) della curva. Il problema è quello di tracciare la retta tangente t in P0. Se io riesco a trovare il coefficiente angolare tan α della retta t, e quindi l'inclinazione (cioè l'angolo che la retta forma con la direzione positiva dell'asse x) avrò risolto il problema. L'idea è questa: se considero un generico punto P(x,y) della curva, distinto da P0 e ad esso prossimo, questo, insieme a P0, individua una retta s che chiamo secante. Adesso osservo che se mi muovo da P verso P0 lungo la curva, la retta s ruota attorno al punto P0 e, più mi avvicino a P0, più la s tende ad avvicinarsi alla t. Ora qual è lo strumento che mi permette di avvicinarmi a P0 quanto voglio? Il concetto di limite. Dico perciò: la tangente t è la posizione limite che assume la secante s quando muovendosi lungo la curva.

A questo punto si tratta solo di rendere possibile operativamente il passaggio al limite. Dalla figura si osserva che il coefficiente angolare della secante è:

Ora se allora e quindi . Da ciò segue che:

   (3)

Per completare distinguiamo 2 casi:

  1. , cioè il limite esiste finito e allora

per cui l'equazione della retta tangente sarà

  1. , cioè il limite (3) è infinito e allora l'equazione della tangente sarà x = x0.

Riassumendo, dal punto di vista geometrico, la derivata di una funzione in un punto è quel numero che esprime il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la tangente geometrica alla curva in quel punto forma con la direzione positiva dell'asse x.

L'idea di Torricelli

Supponiamo di avere un punto che, soggetto ad una forza, descriva una traiettoria la cui equazione sia y = f(x) e che derivi dalla composizione di due moti: uno uniforme lungo l'asse x e uno vario lungo l'asse y. Per fissare le idee supponiamo che le equazioni del moto siano:

Eliminando il parametro t si ottiene l'equazione cartesiana della curva .

Quando ad un certo istante t = t0 (che corrisponde al punto P0 sulla curva) viene a mancare la causa che obbliga il punto a percorrere la traiettoria, esso continua il suo moto in modo che la sua direzione sia quello della tangente alla curva. Tale tangente risulterà dalla composizione di due moti uniformi, uno secondo l'asse x e uno secondo l'asse y. Quindi se io conosco le due velocità al tempo t0 e precisamente v0x (quella lungo l'asse x) e v0y (quella lungo l'asse y), da esse posso risalire alla misure dei due segmenti RQ e QP0 e quindi al loro rapporto

Il rapporto non è altro che la tangente trigonometrica dell'angolo che la tangente geometrica forma con la direzione positiva dell'asse x. Vediamo che il risultato a cui giunse Torricelli si avvicina molto a quello ottenuto da Leibniz (ed anche Newton) con l'operazione di passaggio al limite. Cioè il rapporto ottenuto da Torricelli per variazioni molto piccole si può identificare, in un certo senso, con il limite del rapporto per .

L'idea di Descartes (Cartesio)

Il suo metodo è puramente analitico. Se data una curva y = f(x) ed un suo punto P0(x0,y0), io riesco a trovare la normale alla curva nel punto P0, avrà contemporaneamente risolto il problema della tangente alla curva nel punto. Cartesio imposta il suo procedimento di calcolo nel seguente modo. Considerata una curva y = f(x) e su di essa il punto P0(x0,y0), egli si propone di trovare sull'asse delle x un punto C tale che la retta CP sia normale alla curva data. Questo si verifica quando la circonferenza di centro C e raggio CP è tangente alla curva in P0 cioè presenta due intersezioni con la curva riunite in P0. Da queste considerazioni egli poi risolve il problema geometricamente. L'equazione della circonferenza di centro C(α,0) e raggio R è che intersecato con la curva y = f(x) fornisce α ed R che permettono di ricavare l'equazione della normale e quindi della tangente. Il metodo comunque funziona solo per funzioni razionali semplici e quindi è solo di puro interesse storico. In pratica, se per esempio, la funzione è y = f(x) = x2 e P(1,1) un suo punto, intersecando la curva con la circonferenza generica di centro C(α,0) e raggio R cioè avremo:

Dovendo avere la circonferenza due intersezioni coincidenti con la curva nel punto P(1,1) di ascissa 1, il polinomio di 4° grado dovrà essere divisibile per , ossia:

e quindi il resto della divisione deve essere nullo. Perciò –2α + 6x + α2 – R2 – 4 = 0. Questo comporta risolvere il sistema:

dalla prima delle quali si ricava il valore di α, ossia –2α + 6 = 0 da cui α = 3. Dalla seconda si ricava il valore di dipendente dal valore di α appena trovato. Quindi il coefficiente angolare della retta per i punti P(1,1) e C(3,0), ossia della normale, è , perciò il coefficiente angolare della tangente sarà . Allo stesso risultato si perviene calcolando la derivata nel punto P(1,1) della f(x).

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