Derivata

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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La derivata

La derivata di una funzione g in un generico punto di scissa x è la funzione g' il cui valore in x è

definito dal seguente limite:

g x h g x

g' x lim h

h 0

Quando tale limite esiste ed è finito il numero g'(x) è chiamato derivata delle funzione g in x e

geometricamente rappresenta la pendenza della curva g(x) nel punto di ascissa x. Una funzione dotata

di derivata in un punto x è detta derivabile o differenziabile in x. Una funzione derivabile in ogni punto

del suo dominio è detta, semplicemente, differenziabile.

d

L' operatore viene usato per restituire la derivata di una funzione rispetto una variabile, esso si

d

presta molto bene a chiarire la variabile rispetto a cui viene fatta la derivata; perciò per la derivata

possiamo anche usare la seguente scrittura:

d g

g' x x

dx

C'è un'importante differenza tra l'asserzione per cui noi possiamo definire una nuova funzione detta

derivata e il calcolo del coefficiente angolare della retta tangente, che abbiamo calcolato nella

precedente sezione. La funzione derivata ci dà sicuramente la formula per calcolare il coefficiente

angolare in ogni punto della curva. Essa, però, può anche essere usata per trovare radici, risolvere

problemi di ottimizzazione e ottenere informazioni sul comportamento della funzione originale nel suo

intero dominio. 2

f x x

Troviamo la derivata di .

f x h f x

f' x lim h

h 0

Sostituiamo la definizione di f(x) nell'espressione del limite.

2 2 2 2 2

. .

x h x x x

2 x h h

f' x lim lim

h h

h 0 h 0

2

. .

2 x h h

f' x lim h

h 0

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Noi possiamo semplificare il fattore h che appare sia a numeratore che a denominatore:

h . .

.

lim 2 x h 2 x

h

h 0

Ecco altre derivate calcolate simbolicamente.

d 3 2

.

x 3x

dx

d 4 3

.

x 4 x

dx

d 5 4

.

x x 1

5 x

dx

d 2 .

x 6 2 x

dx

d 2

. .

5 x 10 x

dx 1 3

d 3 2

. .

x x

4 4

dx

d 4 3

. .

.28 x 3 1.12 x

dx

Riuscite a cogliere qualche struttura? Possiamo ricapitolare alcune di queste strutture in un po' di regole

di derivazione:

La regola della Potenza

d n n 1

.

x nx

dx

Esempio

d 12.5

z

dz

è uguale a

23

2

.

12.5 z

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La Regola della moltiplicazione per una costante

d d

. .

cf f

x c x

dx dx

d 3.2

.

ct

dt

è uguale a

11

5

. .

3.2 c t

La Regola della Somma

d d d

k g

k x g x x x

dx dx dx

d 2 .

8 x

x

dx

è uguale a

.

2 x 8 4 2

.

.04 s

y s s s e usiamola per determinare tutti i punti

Calcoliamo la derivata della funzione

della curva in cui il coefficiente angolare della tangente è uguale a zero.

Usando le precedenti regole, la derivata y'(s) è:

3

. .

.16 s 2 s 1

y' s

Per trovare tutti i valori di s in cui y'(s) è

uguale a zero, dobbiamo risolvere una

equazione. Prima rappresentiamo

graficamente y'(s) in modo da ottenere

valori approssimati per le radici. Poiché y' r

y'(s)=0 è un'equazione cubica, ci 10 5 0 5 10

aspettiamo al più tre radici.

3.252

zero = 3.763 r

0.511