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Definizione di derivata di una funzione reale di variabile reale


Consideriamo una funzione y = f(x)
reale di variabile reale definita in un insieme E e sia x0
un punto non isolato di E (cioè appartenente ad E e

di accumulazione per E, per fissare le idee si supponga che E
sia un intervallo e x0 un punto di questo). Il rapporto

  
(1)


rappresenta evidentemente una funzione di x definita
nell'insieme E \ {x0}.

Se su E
esiste finito o infinito il


  
(2)


questo si chiama derivata della funzione y = f(x)
rispetto alla x nel punto x0 e si indica
con uno dei seguenti simboli:



  • notazione di Lagrange: ,

  • notazioni di Cauchy: ,

  • notazioni di Newton: ,

  • notazioni di Leibniz: ,



In particolare, per indicare che la f(x) è dotata di derivata
finita
in x0 si dice che y = f(x)
è derivabile nel punto x0.


La differenza xx0 (positiva o negativa
che sia) si chiama incremento della variabile indipendente x
relativo al punto x0 e si indica di solito con Δx
o con h; si pone cioè




oppure

da cui si ricava


oppure


La differenza f(x) – f(x0)
che, in base alle posizioni precedenti può scriversi






 oppure




si chiama incremento della funzione y = f(x)
relativo al punto x0 e all'incremento Δx
o con h e si indica con Δf
o con Δy. Il rapporto (1) si chiama anche rapporto incrementale
della funzione y = f(x) relativo al punto x0
e all'incremento Δx
(o h) e si indica con




o o
o



Poiché riesce evidentemente



o

e inversamente

o


la (2) potrà scriversi:





oppure



Si noti che se y = f(x)
è derivabile in tutti i punti di un insieme E privo di punti
isolati (per esempio un intervallo) la derivata è una funzione della x0
definita in E e si indica con una delle notazioni introdotte dove
al posto di x0 si pone x.



Il problema della tangente ad una curva


È da esso che è scaturito il concetto di derivata. Il problema può essere

così enunciato: data una curva qualsiasi, tracciare ad essa la tangente in un
suo punto (cioè scoprire un metodo generale per lo studio della tangente ad una
curva). Il problema è stato risolto definitivamente e in modo rigoroso da
Leibniz.


















L'idea di Leibniz

Egli dice: consideriamo un arco di curva continua e sia y = f(x) la sua equazione cartesiana. Consideriamo inoltre un punto P0(x0,y0) della curva. Il problema è quello di tracciare la retta tangente t in P0. Se io riesco a trovare il coefficiente angolare tan α della retta t, e quindi l'inclinazione (cioè l'angolo che la retta forma con la direzione positiva dell'asse x) avrò risolto il problema. L'idea è questa: se considero un generico punto P(x,y) della curva, distinto da P0 e ad esso prossimo, questo, insieme a P0, individua una retta s che chiamo secante. Adesso osservo che se mi muovo da P verso P0 lungo la curva, la retta s ruota attorno al punto P0 e, più mi avvicino a P0, più la s tende ad avvicinarsi alla t. Ora qual è lo strumento che mi permette di avvicinarmi a P0 quanto voglio? Il concetto di limite. Dico perciò: la tangente t è la posizione limite che assume la secante s quando muovendosi lungo la curva.

A questo punto si tratta solo di rendere possibile operativamente il passaggio al limite. Dalla figura si osserva che il coefficiente angolare della secante è:

Ora se allora e quindi . Da ciò segue che:

   (3)

Per completare distinguiamo 2 casi:

  1. , cioè il limite esiste finito e allora

per cui l'equazione della retta tangente sarà

  1. , cioè il limite (3) è infinito e allora l'equazione della tangente sarà x = x0.

Riassumendo, dal punto di vista geometrico, la derivata di una funzione in un punto è quel numero che esprime il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la tangente geometrica alla curva in quel punto forma con la direzione positiva dell'asse x.



L'idea di Torricelli


Supponiamo di avere un punto che, soggetto ad una forza, descriva una
traiettoria la cui equazione sia y = f(x)
e che derivi dalla composizione di due moti: uno uniforme lungo l'asse x e uno
vario lungo l'asse y. Per fissare le idee supponiamo che le equazioni del moto
siano:



Eliminando il parametro t si ottiene l'equazione cartesiana della
curva .



Quando ad un certo istante t = t0
(che corrisponde al punto P0 sulla curva) viene a
mancare la causa che obbliga il punto a percorrere la traiettoria, esso continua
il suo moto in modo che la sua direzione sia quello della tangente alla curva.
Tale tangente risulterà dalla composizione di due moti uniformi, uno secondo
l'asse x e uno secondo l'asse y. Quindi se io
conosco le due velocità al tempo t0 e precisamente v0x
(quella lungo l'asse x) e v0y
(quella lungo l'asse y), da esse posso risalire alla misure dei
due segmenti RQ e QP0 e quindi al loro rapporto



Il rapporto
non è altro che la tangente trigonometrica dell'angolo che la tangente
geometrica forma con la direzione positiva dell'asse x. Vediamo
che il risultato a cui giunse Torricelli si avvicina molto a quello ottenuto da
Leibniz (ed anche Newton) con l'operazione di passaggio al limite. Cioè il
rapporto
ottenuto da Torricelli per variazioni molto piccole si può identificare, in un
certo senso, con il limite del rapporto
per .












L'idea di Descartes (Cartesio)


Il suo metodo è puramente analitico. Se data una curva y = f(x)
ed un suo punto P0(x0,y0),
io riesco a trovare la normale alla curva nel punto P0,
avrà contemporaneamente risolto il problema della tangente alla curva nel
punto. Cartesio imposta il suo procedimento di calcolo nel seguente modo.
Considerata una curva y = f(x) e su di
essa il punto P0(x0,y0),
egli si propone di trovare sull'asse delle x un punto C tale che
la retta CP sia normale
alla curva data. Questo si verifica quando la circonferenza di centro C
e raggio CP è tangente
alla curva in P0 cioè presenta due intersezioni con la
curva riunite in P0. Da queste considerazioni egli poi
risolve il problema geometricamente. L'equazione della circonferenza di centro C(α,0)
e raggio R è
che intersecato con la curva y = f(x)
fornisce α ed R che permettono di ricavare
l'equazione della normale e quindi della tangente. Il metodo comunque funziona
solo per funzioni razionali semplici e quindi è solo di puro interesse storico.
In pratica, se per esempio, la funzione è y = f(x) = x2
e P(1,1) un suo punto, intersecando la curva con la circonferenza
generica di centro C(α,0) e raggio R cioè
avremo:



Dovendo avere la circonferenza due intersezioni coincidenti con la curva nel
punto P(1,1) di ascissa 1, il polinomio di 4° grado dovrà essere
divisibile per ,
ossia:



e quindi il resto della divisione deve essere nullo. Perciò –2α + 6x + α2 – R2 – 4 = 0.
Questo comporta risolvere il sistema:



dalla prima delle quali si ricava il valore di α, ossia –2α + 6 = 0
da cui α = 3.
Dalla seconda si ricava il valore di
dipendente dal valore di α appena trovato. Quindi il coefficiente
angolare della retta per i punti P(1,1) e C(3,0),
ossia della normale, è ,
perciò il coefficiente angolare della tangente sarà .
Allo stesso risultato si perviene calcolando la derivata nel punto P(1,1)
della f(x).


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