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Studio del grafico di una funzione
y = f(x)

Ricorderete che una funzione è definita solitamente in un intervallo del tipo detto in gergo dominio della funzione, con a o (eventualmente). Se volessimo disegnarne il grafico pertanto non potremmo procedere calcolandola punto per punto in quanto i punti dell'intervallo sono (in generale) infiniti.

Vediamo come si procede premettendo una piccola analogia. Ci sarà senz'altro capitato di dover dire ad un turista come arrivare in un determinato punto della città. Quello che facciamo spontaneamente è di indicarne la direzione con la mano dicendogli di svoltare a destra quando vede la fontana Y poi dritto fino alla piazza Z (o altro punto notevole della città) e così via finché non si arriva con la descrizione al punto richiesto dal turista. Osserviamo che ciò che abbiamo fatto non è stato di dire al turista dove deve andare passo dopo passo (non gli abbiamo cioè fornito una descrizione dettagliatissima!), bensì gli abbiamo dato delle indicazioni che gli consentono di arrivare a dei punti notevoli della città sequenzialmente! Ciò gli consentirà di arrivare alla meta senza eccessivo sforzo nel ricordare ciò che deve fare.

Ciò che potrebbe accadere ad una curva (ma non certamente ad un turista che abbia avuto buone indicazioni) è di dover proseguire all'infinito avvicinandosi sempre di più ad una retta (detta asintoto) senza mai toccarla.

Il nostro schema di lavoro per disegnare il grafico di sarà allora quello di determinare:

  1. Il dominio della funzione;
  2. Il segno della funzione e le eventuali intersezioni con gli assi;
  3. i punti di max e di minimo della ;
  4. i punti di flesso a tangente orizzontale;
  5. punti di flesso a tangente obliqua (che includono quelli a tangente orizzontale) ovvero concavità e convessità (in quanto la curva può descrivere una "esse");
  6. asintoti paralleli agli assi coordinati e asintoti obliqui, e loro intersezioni con la funzione.
  7. punti "strani";

Questi sono i passi fondamentali che si devono compiere e sono sufficienti per disegnare una qualunque curva del tipo .

Come si procede

Occorre conoscere le disequazioni le derivate ed i limiti.

  1. dominio della funzione: bisogna vedere dove esiste questa funzione. Se c'è un denominatore, bisogna dire che la x dev'essere diversa dagli zeri di quel denominatore; se c'è una radice di indice pari, il radicando dev'essere positivo; se c'è un logaritmo, l'argomento dev'essere positivo; in caso di modulo, bisogna esaminare i vari casi e studiare le funzioni negli intervalli diversi;
  2. studio del segno della funzione: semplicemente si pone e si vede quando la curva sta sopra o sotto l'asse x. Per trovare le intersezioni con l'asse x si pone e per trovare le intersezioni con l'asse y si pone all'interno della funzione; in questa fase, se la funzione è composta da funzioni trigonometriche, osservo se ho una periodicità (se ogni tanto la funzione mi ritorna ad essere com'era prima);
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  1. punti di max o minimo: si trovano studiando la disequazione ;
    i punti di max sono quelli tali che con a sx & a dx;
    i punti di minimo sono quelli tali che con a sx & a dx;

vediamo perché i punti di massimo e minimo devono avere derivata prima nulla. Per fissare le idee prendiamo un punto di max; a sx di questo punto la funzione cresce mentre a dx decresce (almeno in un piccolo intorno), la derivata passerà allora con continuità da un valore positivo ad un valore negativo, per il teorema dei valori intermedi deve esserci un punto in cui la . Lo stesso discorso per i punti di minimo.

  1. i punti di flesso a tangente orizzontale sono dati da con a sx & a dx; oppure
    con a sx & a dx;

Osservazione: questi sono punti di flesso particolari nel senso che si manifestano già con la derivata prima (n.b.: i punti di flesso per definizione sono quei punti in cui la curva cambia concavità e quindi a rigor di logica evidenziabili con le derivate seconde vedi punto successivo)

  1. i punti di flesso a tangente obliqua (che includono quelli a tangente orizzontale) sono dati dalle seguenti condizioni:
    con (convessa) a sx & (concava) a dx; oppure
    con (concava) a sx & (convessa) a dx;

nota che in questo caso a differenza del punto 2) si tratta di derivate seconde! Per chiarire un po': per definizione i punti di flesso sono quei punti in cui la curva cambia concavità passando da concava a convessa (o viceversa) con continuità di conseguenza la funzione passerà da un valore positivo ad un valore negativo (o viceversa) con continuità quindi per il teorema dei valori intermedi ci sarà un punto in cui .

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  1. Asintoti: ricordo che sono rette (e sono queste che dobbiamo trovare!) a cui la funzione si avvicina sempre di più "toccandola" all'infinito.
    • orizzontali; la curva si accosta sempre più (per ) ad una retta di equazione (è il k che dobbiamo determinare!!) ciò vuol dire che per (per un teorema sui limiti, quello che dice che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti) per quindi il nostro  per ; analogamente per si determina l'altro eventuale asintoto. Se non ci sono asintoti.
    • verticali: la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione (è il c adesso che dobbiamo determinare!!). Qui non si calcola alcun limite, i punti c sono dati semplicemente dalle radici del denominatore della funzione assegnata o quando l'argomento di un logaritmo diventa nullo, ovvero da quei punti che fanno impennare la funzione! Si dice che l'asintoto è pari se per sia da sx che da dx, e dispari se sono discordi.

    • obliqui: la curva si accosta per alla retta d'equazione (qui sono m e q che dobbiamo calcolare!!) cioè per per per dato che, essendo q finito e x infinito, per , o, per la regola di De L'Hôpital, per ; ottenuti così i due valori di m si calcolano i due valori di q: per . Se entrambi i valori di m e q sono finiti, ci sono due asintoti. Se un valore di m e/o quello di q corrispondente è infinito, c'è un solo asintoto, se entrambi i valori sono infiniti non ci sono asintoti obliqui.

    Ci possono essere tanti asintoti verticali, ma al massimo due tra orizzontali e obliqui, rispettivamente per . Dopo averli calcolati, bisogna calcolare le eventuali intersezioni della curva con gli asintoti verticali o obliqui, mettendo a sistema la curva con ciascun asintoto. [newpage]
    1. punti strani: in caso di valore assoluto, ho generalmente, nel punto in cui l'argomento del valore assoluto cambia di segno, un punto non derivabile. Niente di pericoloso, basta dirlo. Se ho un punto c al finito in cui però , posso avere quattro casi:
      1. per da sx e da dx; ho allora un flesso a tangente verticale crescente;
      2. per da sx e da dx; ho allora un flesso a tangente verticale decrescente;

      1. per da sx e per da dx; ho allora una cuspide con vertice in alto;
      2. per da sx e per da dx; ho allora una cuspide con vertice in basso;

    E adesso, la curva è vostra!

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