Come effettuare una divisione con il metodo di Ruffini

In quest'appunto si troverà una spiegazione completa sull'utilità del metodo di Ruffini e su come applicarlo correttamente per ottenere la scomposizione di un polinomio.

Cos'è il metodo di ruffini e perché utilizzarlo

Quando si svolge un'equazione potrebbe essere utile, al fine di semplificare i calcoli, riscrivere un polinomio come il prodotto tra due polinomi più semplici. Eseguire quest'azione significa scomporre un polinomio.

Vi sono alcuni polinomi che possono essere scomposti attraverso strategie semplici, come i prodotti notevoli. Alcuni esempi sono:

• il quadrato di un binomio, per cui vale l'eguaglianza
  $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$
  . Da ciò discende che, un polinomio come
  $x^2+4+2x$
  può essere riscritto nella forma
  $(x+2{)}^2$
• la differenza di quadrati, secondo cui
  $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
  . Ciò significa che il polinomio
  $4x^2-9y^2$
  può essere riscritto come
  $4x^2-9y^2=(2x-3y)(2x+3y)$
• il cubo di un binomio, ossia
  $(3x+2y{)}^3=27x^3+8y^3+3(9x^2)(2y)+3(3x)(4y^2)$
  . Da ciò deriva che il polinomio
  $27x^3+8y^3+54x^{2}y+36x{y}^2$
  , ad esempio, può essere sostituito dal polinomio
  $(3x+2y{)}^3$

Vi sono, invece, altri polinomi che possono essere ridotti soltanto mediante una strategia più complicata. E' proprio grazie al metodo di Ruffini che queste quantità possono essere scomposte.

Per scomporre un polinomio utilizzando il metodo di Ruffini è necessario trovare lo zero del polinomio, ossia il valore numerico che attribuito all'incognita fa risultare nullo il polinomio. La risultato della scomposizione in questo caso sarà pari al prodotto tra il polinomio di Ruffini e la quantità

dove è lo zero del polinomio cambiato di segno. La quantità avra quindi questa forma: , in cui i coefficienti sono coefficienti calcolati con il Metodo di Ruffini.

Il metodo di Ruffini viene usato per eseguire la divisione tra un polinomio ed un binomio di primo grado nella forma

. In questo caso, il polinomio dividendo (quello che deve essere diviso) si abbassa di un grado. Il polinomio deve essere:

• completo, cioè al suo interno devono essere presenti tutte le potenze dell'incognita. Ciò significa che, se il polinomio è di grado
  $3$
  , devono essere presenti le potenze
  $x^0,x^1,x^2,x^3$
• ordinato se compaiono tutte le potenze e sono disposte ordinatamente dal grado massimo al grado minimo

inoltre, vengono utilizzati solo i coefficienti dei termini del polinomio dividendo.

Non sempre il binomio divisore ha come coefficiente il numero

. Nel caso esso sia una quantità diversa da si dividono tutti i termini, sia del dividendo che del divisore per questo coefficiente ed infine si moltiplica il resto, cioè la quantità avanzata dalla divisione, per tale coefficiente.

Come svolgere correttamente una scomposizione con il metodo di Ruffini

Eseguire una scomposizione utilizzando il metodo di Ruffini può sembrare un modo molto lungo e complesso ma seguendo i passaggi elencati di seguito capirete che anche questo metodo di scomposizione non è molto difficile.
I punti da tenere in considerazione sono cinque.

Prima di tutto, è necessario ordinare il polinomio in ordine decrescente, ponendo quindi a sinistra il monomio che presenta la massima potenza e all'estrema destra quello che presenta la potenza minima.

Quando si inseriscono i coefficienti di Ruffini nella prima riga della tabella, bisogna scrivere i coefficienti delle potenze con esponente diverso da 0 così come sono nell'equazione, mentre lo zero del polinomio, inserito nell'angolo a sinistra, dev'essere cambiato di segno.

Per iniziare il calcolo, si riscrive il primo coefficiente sotto la riga orizzontale. Questo dev'essere moltiplicato per il termine noto e il prodotto dev'essere riscritto sotto al secondo coefficiente (al di sopra della riga orizzontale). A questo punto si effettua la somma algebrica in colonna tra il secondo coefficiente e il primo prodotto e si moltiplica il risultato per il termine noto. Dopo questo step, il prodotto ottenuto si pone sotto al terzo coefficiente e così via, finché l'operazione non volge al termine.

Esempio svolto e commentato del metodo di Ruffini

Scomponi - se possibile - utilizzando il metodo di Ruffini il polinomio , considerando che lo zero del polinomio è il valore . Se non è possibile, motiva la risposta.

Svolgimento

La divisione da eseguire per ottenere l'equazione del polinomio di Ruffini, che ci permetterà di scrivere il polinomio in forma scomposta, è , poiché lo zero del polinomio è .
Il polinomio considerato non è ordinato e completo, dunque inseriamo uno 0 nella posizione del coefficiente di potenza e possiamo procedere con la compilazione della tabella. I coefficienti da inserire nella prima riga sono rispettivamente mentre il termine noto da inserire a destra è . Lo zero del polinomio va inserito in basso a sinistra cambiato di segno.

In questo caso, il metodo di Ruffini non può essere applicato perchè il resto è pari a 58 e non è quindi nullo. L'errore è nello zero del polinomio, che non è 3.

Per ulteriori approfondimenti sul metodo di Ruffini vedi anche qua