Come svolgere correttamente le equazioni di secondo grado

In quest'appunto di matematica troverai tutte le informazioni necessarie per svolgere correttamente le equazioni di secondo grado e per individuare la tipologia di soluzione osservando il valore del discriminante. Sono presenti esempi svolti e spiegati.

Cos'è e come si riconosce un'equazione di secondo grado

Un'equazione è, in generale, una relazione di uguaglianza in cui compaiono una o più incognite.

Nel caso delle equazioni di secondo grado, è presente un'unica incognita - solitamente indicata con la lettera

- presente con esponente massimo due. Cerchiamo di tradurre queste definizione in termini matematici.

Dati i parametri

e posto

, un'equazione di secondo grado è del tipo

.

Quest'uguaglianza è soddisfatta se sostituiamo al valore delle incognite quello delle radici, ossia delle soluzioni dell'equazione. In particolare le radici sono

ed

sono tali per cui

.

Nelle equazioni di secondo grado, è possibile valutare la caratteristiche delle radici osservando il valore del discriminante, quindi ancor prima di ricavare le soluzioni.

Definendo come discriminante dell'equazione la quantità

le due radici possono essere calcolate comodamente applicando la celebre formula

da cui si evince che:

• se
  [math]\Delta > 0[/math]
  la due radici non sono reali (bensì risultano complesse coniugate). Questo è il caso, ad esempio, dell'equazione
  [math]2x^2+x+4=0[/math]
  , in cui le radici presentano uguale parte reale e parte complessa - esprimibile attraverso l'unita immnaginaria
  [math]i[/math]
  - opposta
• se
  [math]\Delta = 0\\[/math]
  le due radici sono reali e coincidenti, ossia esiste un'unica radice reale (
  [math]x_1=x_2[/math]
  ). Questo è il caso di
  [math]x^2+8x+4[/math]
  .
• se
  [math]\Delta > 0\\[/math]
  le due radici sono reali e distinte, come ad esempio nel caso dell'equazione
  [math]3x^2+4-10=0[/math]

I casi particolari delle equazioni di 2 grado

Fino a questo punto abbiamo considerato delle equazioni di secondo grado in cui tutti i coefficienti risultano diversi da 0. Tuttavia, questa condizione può venire meno in alcuni casi: ecco alcuni esempi.

Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni spurie

Si definiscono spurie le equazioni di secondo grado con

:

E' evidente che questa sotto categoria presenti un notevole vantaggio in termini di calcoli. Infatti si ha che:

Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni pure

Si definiscono pure le equazioni di secondo grado con

:

E' evidente che anche in quest'altro caso i conti si semplificano notevolmente. In particolare, si ha che:

ove si possono presentare due sotto casi da discutere:

• se
  [math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]
  l'equazione non presenta soluzioni reali. Ciò accade perchè, essendo 2 un numero pari, non esiste alcun numero che elevato alla seconda possa restituire come risultato un numero reale negativo.
• se
  [math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]
  l'equazione presenta due soluzioni reali e distinte, in quanto essendo 2 un esponente pari, tale risultato può essere ottenuto sia partendo da una base positiva che da una base negativa. In questo caso, quindi:
  [math]x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]

Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni monomie

Si definiscono monomie le equazioni di secondo grado con

:

Questo è allo stesso tempo il caso più banale e meno interessante, in quanto le soluzioni sono reali e coincidenti a zero:

Esercizi sul discriminante delle equazioni di secondo grado

Calcola il discriminante delle seguenti equazioni e definisci la tipologia di radici:

• [math]x^2+6x+9=0[/math]
• [math]4x^2-8x+9=0[/math]
• [math]2x^2+2x-4=0[/math]

Svolgimento degli esercizi

Partiamo dalla prima equazione, ossia

. In questo caso il discriminante può essere calcolato come:

. Il discriminante è nullo, quindi le due soluzioni sono reali e coincidenti, cioè

Per quanto riguarda invece l'equazione

, invece, il discriminante è pari a:

. Il valore è negativo, quindi le soluzioni sono complesse e coniugate.

L'ultima equazione è invece

. In questo caso, il discriminante è

. E' quindi un valore positivo e le radici risultano reali e distinte.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua