Nel seguente appunto vedremo come risolvere un equazione di secondo grado nel caso più generale possibile, focalizzando lo studio poi su quello che si ottiene quando l'equazione viene ridotta a forma normale, ovvero nella forma:
[math] Ax^2+Bx+C = 0 [/math]
Le equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado, un modo semplice per scoprirle, dove la variabile, di solito[math]x[/math]
o un qualsiasi altro coefficiente/variabile, compare al secondo grado.La prima cosa da fare è riconoscerle, nonostante i vari modi in cui possono apparire. Per esempio:
[math] x^2+2= 0[/math]
[math]3x+1= 1/2 x^2-6[/math]
Esiste una formula per risolvere le equazioni di secondo grado ma prima bisogna preparare l'equazione.
Per risolverla, bisogna prima fare tutti i calcoli possibili per semplificare, per poi renderli in forma normale.
Ma cosa significa "forma normale"?
Per "forma normale" s'intende mettere le variabili/coefficienti in ordine decrescente, quindi da 2 a 0.
Possiamo riassumere dicendo che una equazione è in forma normale se:
- al secondo membro c'è sempre lo zero;
- le potenze sono ordinate in modo decrescente;
- ogni potenza compare una volta sola.
[math] Ax^2+Bx+C = 0[/math]
[math] A, B, C [/math]
si chiamano coefficienti. Un altro passaggio prima di iniziare a risolverle, è mettere tutte le variabili/coefficienti al primo membro, per poi mettere al secondo membro (ossia dopo l'uguale )lo zero.
Dopo bisogna che i coefficienti/variabili le trasformi in A,B e C, affinché
[math] A [/math]
sia il numero che moltiplica [math] x^2 [/math]
, [math] B [/math]
sia il numero che moltiplica [math] x [/math]
e [math] C [/math]
sia il termine noto.Da qui si può partire con le formule, sono due infatti, perché sono (quasi sempre) due le soluzioni.
Eccole qui, rispettivamente, con
[math]A, B, C [/math]
:[math] x_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2-4AC}}{2A} [/math]
[math] x_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2-4AC}}{2A} [/math]
[math] x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A} [/math]
Quando la quantità sotto radice è negativa, diremo che l'equazione non ammette soluzioni reali. Quando invece la quantità sotto radice è uguale a 0, le soluzioni sono reali e coincidenti. Infine, se l'argomento della radice è strettamente positivo diremo che le soluzioni sono reali e distinte.
Si danno le ultime dritte: la divisione (in tutte e tre le formule) parte da -B, e non dalla radice, fare attenzione! Quindi bisogna dividere tutto il numeratore per il denominatore
[math] 2A [/math]
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