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formule del quadrato del trinomio

Quadrato di un trinomio


Si vuole pervenire ad una formula che permetta di calcolare in maniera semplice e veloce il quadrato di un trinomio.

Definiamo prima di tutto cosa si intende per trinomio: un trinomio è un'espressione algebrica costituita da tre monomi legati tra di loro attraverso una somma algebrica (cioè da segni di addizione e sottrazione). I monomi sono invece brevi espressioni algebriche date dal prodotto tra numeri (coefficienti) e lettere (parti letterali).

L'espressione algebrica

[math]5x + 2y - 4z[/math]
è dunque un trinomio:
[math]5x[/math]
,
[math]2y[/math]
e
[math]-4z[/math]
sono monomi, in quanto si tratta (come abbiamo detto) di espressioni algebriche nate dal prodotto tra numeri e lettere. I tre monomi sono poi uniti da una addizione algebrica che dà dunque vita al trinomio.

In algebra può rivelarsi molto importante saperne calcolare il quadrato, il quale costituisce un importante prodotto notevole. Vediamo qual è questo valore utilizzando il trinomio che abbiamo precedentemente introdotto.

Non c'è dubbio che calcolare il quadrato di un trinomio sia equivalente a moltiplicare il trinomio per se stesso. Possiamo dunque scrivere:

[math](5x + 2y - 4z)^2 = (5x + 2y - 4z) \cdot (5x + 2y - 4z)[/math]

Calcoliamo dunque il prodotto del trinomio per se stesso, in quanto si tratta di una operazione che ormai dobbiamo essere perfettamente in grado di fare: sarà sufficiente moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda. I risultati ottenuti andranno poi sommati tra loro.

Primo termine della prima parentesi:

[math](5x) \cdot (5x + 2y - 4z)= (5x) \cdot (5x) + (5x) \cdot (2y) + (5x) \cdot (-4z)= 25 x^2 + 10 xy - 20 xz [/math]

Secondo termine della prima parentesi:

[math](2y) \cdot (5x + 2y - 4z)= (2y) \cdot (5x) + (2y) \cdot (2y) + (2y) \cdot (-4z)= 10 xy + 4y^2 - 8 yz[/math]

Terzo termine della prima parentesi:

[math](-4z) \cdot (5x + 2y - 4z)= (-4z) \cdot (5x)+ (-4z) \cdot (2y) + (-4z) \cdot (-4z)= -20 zx -8 yz + 16 z^2[/math]

Somma di tutti i termini

[math]25 x^2 + 10 xy - 20 xz + 10 xy + 4y^2 - 8 yz -20 xz -8 yz + 16 z^2 [/math]

Accorciamo il lungo polinomio così ottenuto andando a sommare tra di loro i monomi simili (cioè quelli che hanno la stessa parte letterale). La somma di due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma algebrica dei vari coefficienti, e per parte letterale la stessa parte letterale. Nel nostro caso diviene:

[math]25 x^2 + 20 xy - 40 xz + 4y^2 - 16 yz + 16 z^2 [/math]

O meglio, volendo riordinare un pochino i termini:

[math]25 x^2 + 4y^2 + 16 z^2 + 20 xy - 40 xz - 16 yz [/math]

Possiamo dunque scrivere che:

[math](5x + 2y - 4z)^2= 25 x^2 + 4y^2 + 16 z^2 + 20 xy - 40 xz - 16 yz [/math]

Analizzando bene il trinomio di partenza:

[math](5x + 2y - 4z)[/math]
, ci accorgiamo subito che:
[math]25 x^2[/math]
= quadrato del primo termine
[math]4 y^2[/math]
= quadrato del secondo termine
[math]16 z^2[/math]
= quadrato del termine termine
[math]20 xy[/math]
= doppio prodotto del primo termine per il secondo
[math]-40 xz[/math]
= doppio prodotto del primo termine per il terzo
[math]-16 yz[/math]
= doppio prodotto del secondo termine per il terzo

Questo ci permette di pervenire ad una regola generale: Il quadrato di un trinomio e' dato dal quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, più il quadrato del terzo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il doppio prodotto del primo per il terzo, più il doppio prodotto del secondo per il terzo .

Imparata a memoria questa regola generale, sarà possibile calcolare facilmente il quadrato di qualsiasi trinomio. Dai più semplici....

[math] (A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2 AC + 2 BC[/math]

...ai più complessi.

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