Monomi e loro proprietà

In questo appunto di algebra scriviamo cosa sono i monomi le loro proprietà e anche le caratteristiche. Per la comprensione dell’argomento è utile rivedere le regole delle espressioni aritmetiche e le proprietà delle potenze.

Cosa sono i monomi?

Alcune volte è più utile mostrare come si ottiene un risultato che non fornire il risultato stesso; le formule per il calcolo dell’area e del perimetro dei poligoni hanno proprio questo scopo.

Nelle situazioni di carattere generale, per esprimersi in maniera efficace, è meglio usare le lettere al posto dei numeri.
Cosa c’entrano le lettere con i numeri?
Consideriamo una figura geometrica formata da un quadrato attaccato ad un rettangolo, la base del rettangolo è uguale al lato del quadrato e l’altezza del rettangolo è la metà del lato del quadrato.

Il perimetro è composto dalla somma di 5 segmenti uguali al lato del quadrato e da altri due lati uguali alla metà del lato del quadrato.
Volendo calcolare il perimetro di questa figura dobbiamo sommare le lunghezze di 7 segmenti consecutivi che ne costituiscono il contorno.
Se indichiamo con

la misura del lato del quadrato e, con

la misura dell'altezza del rettangolo, Possiamo dire che il perimetro è uguale alla somma di 5 volte il lato intero e due volte metà lato:

Ovvero

Abbiamo trovato un'espressione letterale che ci permette di calcolare la misura del perimetro di questa figura, qualunque sia il valore del lato.
Se il lato misura 5 cm, con la nostra formula sappiamo che il perimetro misura:

Se il lato misura 7 cm, con la nostra formula sappiamo che il perimetro misura:

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo di area perimetro di figure composte vedi qua

Espressioni letterali

Le espressioni letterali indicano operazioni fra lettere e numeri, le lettere che compaiono in queste espressioni rappresentano dei numeri, nella stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano lo stesso numero.
Le lettere che compaiono in un’espressione letterale si definiscono variabili. Se in un’espressione letterale ad ogni lettera si sostituisce il numero che essa rappresenta, si ottiene un’espressione algebrica con solo i numeri e quindi si può calcolare il suo valore. Quando utilizziamo le formule per il calcolo dell’area o del perimetro di una qualsiasi figura piana e del volume di un solido, stiamo utilizzando delle espressioni letterali in cui le variabili sono le dimensioni delle figure. Ad esempio:

• Area di un quadrato:
  [math]l^2[/math]
• Area di un rettangolo:
  [math]b\times h[/math]
• Volume della sfera:
  [math]{4 \over 3}\pi r^3[/math]
• Secondo principio della dinamica:
  [math]F=ma[/math]

Le formule di matematica, fisica, chimica o qualsiasi altra disciplina scientifica hanno una funzione generale perché rappresentano tutti i tipi di problemi che richiedono l’utilizzo di quella formula specifica.
Quando in un’espressione letterale al posto di una lettera si inserisce un valore numerico si effettua una sostituzione. In questo modo non stiamo più considerando la situazione generale ma una situazione particolare.

Per ulteriori approfondimenti sul secondo principio della dinamica vedi qua

Monomi, definizione e proprietà

L’espressione letterale che abbiamo trovato è un ]monomio, ora possiamo dare la prima definizione: Un monomio è un’espressione letterale in cui, fra le lettere, compaiono solo moltiplicazioni e potenze. Gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.
Li troviamo spesso in leggi matematiche, fisiche o economiche che legano grandezze di tipo diverso, proprio come nell'esempio che abbiamo fatto per il calcolo del perimetro di una figura composta.
Un monomio è ridotto a forma normale quando è scritto come prodotto fra un numero e una o più lettere diverse fra loro, con eventuali esponenti.
Per ridurre a forma normale un monomio, si applicano la proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione e la prima proprietà delle potenze.
In un monomio ridotto a forma normale, il fattore numerico è il coefficiente, le lettere costituiscono la parte letterale.

Grado di un monomio

Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere. L’esponente con cui compare ogni lettera è detto grado rispetto alla lettera.
Ad esempio la scrittura:

è un monomio non ridotto a forma normale, perché la lettera a compare due volte, quindi riducendo si ha:

Stabiliamo il grado di questo monomio, sommando gli esponenti delle lettere.
Abbiamo che il grado di questo monomio è 8.
Il grado rispetto alla lettera a è 3.
Il grado rispetto alla lettera b è 1.
Il grado rispetto alla lettera c è 4.
I monomi simili hanno la stessa parte letterale.
I monomi opposti sono simili ma i loro coefficienti sono opposti in segno.
I monomi uguali hanno sia il coefficiente che la parte letterale uguali tra loro.
Un monomio si dice intero se la parte letterale figura solo al numeratore.
Un monomio si dice fratto quando la parte letterale si trova anche al denominatore.
Il monomio nullo ha il coefficiente uguale a zero.

Somma algebrica e moltiplicazione tra monomi

Per i monomi come per i numeri relativi le operazioni di addizione e sottrazione sono genericamente indicate come addizione algebrica e il loro risultato è detto somma algebrica. È possibile addizionare o sottrarre due o più monomi solo se questi hanno la stessa parte letterale cioè se sono simili. Il monomio somma che si ottiene ha la stessa parte letterale dei monomi addendi e per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti tenendo presente i loro segni.
La somma di due monomi opposti è il monomio nullo.
Esempi

• [math]3b^2+5b^2=(3+5)b^2=8b^2[/math]
• [math]x^3-{1 \over 2}x^3={1 \over2}x^3[/math]
• [math]4z-4z=0[/math]

Il prodotto fra monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali.
Il prodotto fra monomi è sempre possibile anche se essi non sono simili.
Per approfondimenti su calcolo letterale vedi qua

Potenza e divisione tra monomi

Per eseguire la divisione tra due monomibisogna effettuare la divisione tra i coefficienti e applicare le proprietà delle potenze tra le due parti letterali anche in questo caso i monomi possono non essere simili.
Uno monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio (divisore) quando in esso compaiono tutte le lettere del divisore con gli esponenti maggiori o uguali.
Vale quindi la regola seguente:
Dati due monomi, il secondo non nullo e il primo divisibile per il secondo, il loro quoziente è un monomio che ha come coefficiente il quoziente di coefficienti e come parte letterale il quoziente delle parti letterali.
È possibile dividere un monomio per qualunque numero purché diverso da zero: il monomio divisore non può essere il monomio nullo.
Per eseguire la divisione tra due potenze che hanno la stessa base ricordiamo che si esegue la sottrazione fra gli esponenti.
è possibile dividere un monomio per qualunque numero purché diverso da zero. Tutte le operazioni tra monomi sono oggetto del calcolo letterale.

Per ulteriori approfondimenti sui monomi vedi anche qua