Prodotti notevoli - Monomi, binomi e polinomi

In questo appunto di algebra per il primo biennio delle superiori è riportata una descrizione dei 4 prodotti notevoli che devono far parte della cassetta degli attrezzi di uno studente alle prese con il calcolo letterale. Proponiamo un breve ripasso della operazione di moltiplicazione tra polinomi e poi la spiegazione delle quattro formule di sviluppo da utilizzare ogni qualvolta è possibile. Nell'appunto si fa anche cenno alla interpretazione geometrica del quadrato di binomio.

Moltiplicazione tra polinomi

Il prodotto di due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo e addizionando tutti i prodotti ottenuti. Il numero dei termini che si ottengono aumenta man mano che i polinomi diventano più lunghi. Il prodotto tra due binomi è un polinomio che ha un numero di termini pari a:




Il prodotto tra un binomio e un trinomio è un polinomio che ha un numero di termini pari a




Se moltiplico due trinomi ottengo un polinomio con un numero di termini pari a:




Per alcuni prodotti si verifica però che alcuni dei termini risultano opposti, oppure simili e quindi, il numero totale di termini si può anche ridurre. Se si riconosce il tipo di prodotto allora ci si risparmia un po’ di lavoro a far calcoli, riducendo anche il rischio di fare errori.
Alcune moltiplicazioni di polinomi sono particolari, perché si riconducono a semplici regole che permettono di abbreviare il calcolo scrivendo il risultato senza passaggi intermedi. Per questo motivo, i risultati di questi prodotti sono chiamati prodotti notevoli. Esaminiamo allora quali sono questi prodotti. Ne abbiamo quattro:

• il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza;


• il quadrato di un binomio;


• il cubo di un binomio;


• il quadrato di un trinomio.

Per ciascuno di essi vediamo la regola di sviluppo che permette si scrivere subito il risultato senza effettuare tutti i passaggi intermedi.

Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Indichiamo con A e B due monomi generici e consideriamo il prodotto della loro somma per la loro differenza:



svolgiamo il prodotto:



per la proprietà commutativa del prodotto sappiamo che:



e quindi:



nel polinomio prodotto ci sono due termini opposti che si elidono, restano solo i due quadrati:



questa è la regola del primo prodotto notevole:
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo e il quadrato del secondo
Ricordarsi questa regola ci evita di fare un passaggio inutile.

Quadrato di un binomio

Il quadrato di un numero è il prodotto del numero per sé stesso. Il quadrato di un binomio è il prodotto del binomio per sé stesso. Indichiamo con A e B due monomi generici e consideriamo il quadrato della loro somma:



scriviamo questa potenza come prodotto del binomio per se stesso:



e svolgiamo:



il polinomio prodotto ha 4 termini di cui due sono simili, e concordi in segno, sono perciò sommabili:



abbiamo la regola del quadrato di binomio:
Il quadrato di un binomio è un trinomio che ha come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo.

Interpretazione geometrica del quadrato di binomio

L’interpretazione geometrica dello sviluppo del quadrato di binomio risale ai Greci. Il quadrato di un binomio è una quantità sempre positiva, osserviamo allora il quadrato in figura:



il suo lato è la somma dei due monomi a e b; quindi, la sua area è uguale proprio al quadrato di binomio. Nella figura successiva il quadrato è stato scomposto in 4 figure, due quadrati e due rettangoli.



I quadrati hanno area e , ciascun rettangolo ha area ab. L'area del quadrato adesso è la somma di queste quattro aree:



Ovvero:



Ritroviamo in questo modo lo sviluppo del quadrato di binomio la cui formula è stata data sopra.

Cubo del binomio

Vediamo come si giunge alla regola di sviluppo.
La scrittura , secondo la definizione di potenza, significa moltiplicare il fattore tre volte per sé stesso:



eseguendo il prodotto tra i primi due fattori, possiamo riscrivere il tutto come prodotto di un quadrato di binomio per un binomio di primo grado:



sostituendo:



si ottiene un polinomio con 6 termini:



sommando i monomi simili, il polinomio diventa un quadrinomio:



La regola di sviluppo per il cubo di binomio è:
Il cubo di un binomio è un quadrinomio che ha come termini il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine.

Quadrato di un trinomio

In maniera analoga allo sviluppo del quadrato del binomio si procede per ricavare la regola di sviluppo per il quadrato di un trinomio.




Ricaviamo la regola con tutti i passaggi:










Il polinomio che viene fuori ha nove termini, ma sommando quelli simili ne restano 6:



Si capisce allora come sia conveniente usare i prodotti notevoli ogni volta che li riconosciamo.
Regola per il quadrato del trinomio:
Il quadrato di un trinomio è un polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.

Potenza n-sima di un binomio

Abbiamo visto la regola di sviluppo di un quadrato e di un cubo di binomio.
Come si procede se la potenza del binomio è maggiore di 3?
Comes si sviluppa ?
E ?
Potremmo continuare a calcolare le altre potenze di un binomio utilizzando quelle già ottenute. Non è conveniente imparare a memoria regole per calcolare le potenze di un binomio successive al cubo. Per fortuna esiste un metodo pratico per conoscere i coefficienti dello sviluppo delle potenze di binomi. Si può usare un semplice schema che fu sviluppato da un matematico bresciano, Niccolò Fontana detto Tartaglia. Lo schema è noto come triangolo di Tartaglia e sotto ne trovi raffigurato uno.




Tartaglia lo elaborò osservando proprio lo sviluppo delle successive potenze del binomio (a+b). Al vertice c’è solo 1 che corrisponde al coefficiente della potenza nulla. Infatti, qualsiasi quantità elevato a zero è uguale ad 1. Ogni riga successiva inizia e finisce col numero 1, ogni altro numero è la somma dei due numeri che lo sovrastano della riga precedente, come indicato dalle freccette. Di lato ci sono le varie potenze e in rosso i coefficienti da inserire, che si ricavano dal triangolo. Come puoi verificare, ci sono proprio le serie di numeri che abbiamo visto negli sviluppi dei prodotti notevoli sopra.



Vale allora a seguente regola generale: lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di uno dei due monomi (a partire dalla n-esima fino a zero) e crescenti dell'altro (a partire dal grado zero fino a n) i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo di Tartaglia.

Per ulteriori approfondimenti sui prodotti notevoli vedi anche qui