Potenze - Definizioni e proprietà

In questo appunto di algebra si discute delle potenze. L'operazione di elevamento potenza è uno strumento della matematica molto utilizzato in algebra, in questo appunto ripassiamo tutte le definizioni, le proprietà che caratterizzano le operazioni di moltiplicazione e di divisione tra potenze. Attraverso degli esempi svolti cerchiamo di capire come applicare le proprietà e soprattutto come non cadere in errore. Ricordiamo sempre che il formalismo matematico è importante quando si svolgono gli esercizi.

Elevamento a potenza

La moltiplicazione può essere vista come un’addizione di addendi tutti uguali.

Cosa succede se abbiamo invece una moltiplicazione con tanti fattori uguali?
Dalla teoria sui sistemi di numerazione sappiamo che troppi segni uguali e troppe ripetizioni rendono difficile la comprensione.

Per superare questo problema si è inventato una scrittura che si è rivelata uno strumento importantissimo: le potenze. Consideriamo per semplicità un’espressione formata solo da moltiplicazioni in cui tutti i fattori sono uguali ad esempio:

Per abbreviare la scrittura, per renderla più semplice, introduciamo un nuovo modo di scrivere:

e leggiamo “3 elevato alla quinta potenza” o più semplicemente “3 alla quinta”.
La scrittura che indica un’espressione composta solo da moltiplicazioni con tutti i fattori uguali prende il nome di potenza.
Il fattore 3 che viene ripetuto è detto base.
Il numero 5, che viene scritto in alto a destra, più piccolo, viene detto esponente. Questo indica quanti fattori uguali alla base compaiono nell'espressione, ovvero quante volte la base deve essere moltiplicata per sé stessa. La potenza è la scrittura completa: la base e il suo esponente.
La scrittura identifica una nuova operazione che viene detta elevamento a potenza. Diamo una definizione e usiamo un simbolismo matematico generale:
La potenza

di un numero

è un numero della forma

• [math]a[/math]
  è la base della potenza e può essere un qualsiasi numero reale;
• [math]n[/math]
  è l'esponente della potenza ed è, generalmente, un numero intero e positivo;
• [math]b[/math]
  è il risultato, o potenza, e si calcola moltiplicando
  [math]a[/math]
  per sé stesso tante volte quanto dice l'esponente, cioè
  
  [math]b=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n-\textrm{volte}}[/math]

Attenzione! Abbiamo detto che

è un numero reale qualsiasi, perciò può essere positivo o negativo, intero o razionale, irrazionale o complesso e così via. Pertanto, è bene conoscere come si eseguono le operazioni fra i diversi tipi di numeri citati. In generale, bisogna prestare la massima attenzione al segno di

Segno della base di una potenza

Facciamo degli esempi numerici e poi diamo la regola generale.

• [math]2^3=(+2)^3=(+2)×(+2)×(+2)=+8[/math]
• [math]-2^3=-(2^3)= -(+8 )=-8[/math]
• [math]-2^4=-(2^4=-[(+2)×(+2)×(+2)×(+2)]=-(+16)=-16[/math]
• [math](-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8[/math]
• [math](-2)^4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=+16[/math]

Deduciamo che:

• [math]-a^n=(-a)^n[/math]
• [math](-a)^n =(-a)\cdot(-a)\cdot..\cdot(a)=+(a^n) \qquad n\ \textrm{pari}[/math]
• [math](-a)^n =(-a)\cdot(-a)\cdot...\cdot(-a) = - (a^n) \qquad n\ \textrm{dispari}[/math]

.
Il segno finale della potenza può essere anche negativo se la base è negativa ma l'esponente è dispari-

Potenze di zero ed uno

. Vediamo i casi notevoli:

• [math]0^1 = 0[/math]
• [math]0^a = 0[/math]
• [math]1^0 = 1[/math]
• [math]1^1 = 1[/math]
• [math]1^a = 1[/math]
• [math]a^0 = 1[/math]
• [math]a^1 = a[/math]

Proprietà delle potenze

Vediamo ora quali sono le proprietà delle potenze quando si esegue la moltiplicazione o la divisione tra due potenze.
Il prodotto di due potenze con la stessa baseè una potenza che mantiene la stessa base e ha per esponente la somma degli esponenti dei fattori.

Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente ma con base diversa è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che mantiene la stessa base e ha per esponente la differenza degli esponenti.

Il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente ma basi diverse, è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi.

Una potenza di potenza è uguale a una potenza che ha per base la base della prima potenza e per esponente il prodotto degli esponenti.

Addizione e sottrazione tra potenze

Per addizionare o sottrarre due potenze non si può operare direttamente sugli esponenti come nelle operazioni di moltiplicazione e divisione. La somma di due potenze con la stessa base non è detto che sia nemmeno una potenza. Facciamo un esempio, consideriamo la seguente somma:

Svolgiamo singolarmente le due potenze

A questo punto ci rendiamo conto che non è possibile scrivere il numero 72 come una potenza di 2, infatti, scomponendo in fattori il numero 72 abbiamo:

se avessimo sommato gli esponenti come nel prodotto avremmo ottenuto:

Ordine di esecuzione delle operazioni nel calcolo delle potenze

Attenzione quindi a non confondere l’operazione di moltiplicazione con la addizione, e in maniera analoga la divisione con la sottrazione. In generale per addizionare o sottrarre due potenze è indispensabile prima trovare il loro valore svolgendo l’operazione della potenza, e poi procedere all'esecuzione dell'addizione e della sottrazione.
Anche nelle espressioni in cui troviamo le potenze, se non si possono applicare le proprietà di calcolo si deve svolgere l’operazione di elevamento e trasformare le potenze in numeri naturali. Nelle espressioni dobbiamo ricordare che l’operazione di elevamento a potenza deve essere svolta prima delle altre, dunque, le precedenze delle operazioni sono le seguenti: prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni, quindi le addizioni e le sottrazioni. Naturalmente rispettando sempre le eventuali parentesi. Vediamo un esempio sull'ordine delle operazioni da eseguire:

1. [math](3^4-3^2):2+2^7:2^4=[/math]
2. [math]=(81-9):2+2^3[/math]
3. [math]=72:2+8[/math]
4. [math]=36+8[/math]
5. [math]=44[/math]

Per la sottrazione abbiamo calcolato le due potenze 81 e 9 e poi abbiamo eseguito la loro differenza; per la divisione abbiamo applicato la proprietà delle potenze facendo la sottrazione degli esponenti e ottenendo

.

Esempi di operazioni svolte sulle potenze

Vediamo ora alcuni esempi di calcolo.

• [math](3^2) × (3^5) = 3^{2+5} = 3^7[/math]
• [math](5^7) ÷ (5^6) = 5^{7-6} = 5[/math]
• [math](2^5) × (3^5) = (2×3)^5 = 6^5[/math]
• [math](9^2) ÷ (3^2) = (9÷3)^2 = 3^2[/math]
• [math] (3^2)^4 = 3^{2×4} = 3^8[/math]
• [math][(4^3)^2]^6 = 4^{3×2×6} = 4^{36}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle potenze vedi anche qui