Proprietà delle potenze e casi particolari

In questo appunto vengono descritte le definizioni fondamentali relativamente alle potenze e le loro proprietà fondamentali, attraverso anche esempi e casi particolari. Verranno inoltre descritte e spiegate attraverso esempi numerici le operazioni algebriche tra le potenze e le espressioni con potenze.

Le potenze

Con il concetto di potenza si vanno a definire delle operazioni di moltiplicazioni ripetute identicamente tra di loro.

In una potenza possiamo andare a definire il concetto di base e di esponente. La base è il numero che viene elevato all'esponente, e quindi la base è il numero che viene moltiplicato ripetutamente pari al numero dell'esponente. In termini matematici è possibile esprimere il concetto di potenza nel seguente modo:

Dove:

è l'argomento, cioè il numero che viene fuori una volta calcolata la potenza;

è la base, quindi il numero moltiplicato ripetutamente e

è l'esponente, quindi il numero di volte che la base deve essere ripetuta.

Di seguito vengono presentati alcuni esempi di potenze numeriche:

Una potenza può essere anche una funzione di un'incognita. Queste sono le funzioni di potenze, che vengono espresse in forma polinomiale, cioè come somma ripetuta di tante basi, che presentano un'incognita, elevate ad un coefficiente o elevato all'incognita. Esempi possono essere;

La forma polinomiale più generale è la seguente:

Dove

sono numeri reali.

Le proprietà delle potenze

Sono diverse le proprietà delle potente. Tra le principali abbiamo le seguenti riportate:

• Potenza di zero. Una base con pari a zero restituirà sempre un argomento di valore unitario, qualsiasi essa sia la base. Si può osservare dunque:
  [math]b^0=1[/math]

  Dove però deve risultare una base diversa da zero, in quanto in quel caso saremmo in presenza di una forma indeterminata.
  

• Potenza di un numero negativo. Nel caso in cui una base venga elevata ad un numero negativo, la potenza risultante sarà il reciproco della base elevata a quello stesso esponente ma cambiato di segno. Si può dunque osservare:
  [math]b^{-e}=\frac{1}{b^e}[/math]
• Potenza di esponenti fratti. Nel caso in cui si abbia una base elevata ad un numero fratto, la potenza risultante sarà una potenza irrazionale di questo tipo:
  [math]b^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}[/math]

  Si osserva dunque che in questo caso il denominatore dell'esponente fratto diventa l'indice della radice, mentre il numeratore dell'esponente fratto diventerà l'esponente della base.
  

Operazioni algebriche tra potenze

In quanto entità matematiche è possibile effettuare tutte le operazioni matematiche, relativamente a somma, sottrazione, prodotto e quoziente, potenze di potenze. Di seguito sono riportati gli esempi principali.

• Somma di potenze. La somma tra potenze può essere effettuata se e solo se queste presentano sia la base che l'esponente identico, altrimenti non è possibile effettuare la somma o la differenza. Esempi numerici sono i seguenti:
  [math]3x^2+x^2=4x^2[/math]
  [math]3x^3-x^2=3x^3-x^2[/math]

  Nell'ultimo caso non è possibile fare la differenza tra gli elementi.
  

• Quoziente di potenze. Il quoziente di potenze che hanno la stessa base ma esponenti diversi è una potenza che ha per base la stessa, medesima base e per esponente la differenza degli esponenti. Di seguito la regola generale:
  [math]\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}[/math]

  Esempi numerici sono i seguenti riportati:

  [math]\frac{2^8}{2^6} [/math]

  Come possiamo notare, queste due potenze hanno la stessa base ma esponenti differenzi; quindi calcoliamo la differenza tra gli esponenti. Da cui si ottiene:

  [math]2^{8-6}=2^2=4[/math]
• Quoziente di potenze con lo stesso esponente. Il quoziente di potenze che hanno base differente ma esponenti identici è una potenza che ha per base il quoziente medesimo e per esponente comune lo stesso. Di seguito la regola generale:
  [math]\frac{b_1^m}{b_2^m}=\frac{b_1}{b_2}^m[/math]

  Esempi numerici sono i seguenti riportati:

  [math]\frac{2^3}{3^3}= \frac{2}{3}^3 [/math]
• Prodotto di potenze. Il prodotto di potenze che hanno la stessa base, ma esponenti differenti è una potenza caratterizzata dalla stessa base e che ha per esponente la somma degli esponenti.Di seguito la regola generale:
  [math]b^m \cdot b^n=b^{m+n}[/math]

  Esempi numerici sono i seguenti riportati:

  [math]2^8 \cdot 2^6 [/math]

  Come possiamo notare, queste due potenze hanno la stessa base ma esponenti differenzi; quindi calcoliamo la somma tra gli esponenti. Da cui si ottiene:

  [math]2^{8+6}=2^{14}[/math]
• Prodotto di potenze con lo stesso esponente. Il prodotto di potenze che hanno base differente ma esponenti identici è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente comune lo stesso esponente. Di seguito la regola generale:
  [math]b_1^m \cdot b_2^m= (b_1 \cdot b_2)^m[/math]

  Esempi numerici sono i seguenti riportati:

  [math]2^3 \cdot 3^3= (2 \cdot 3)^3 [/math]
• Potenza di potenza. La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Di seguito la regola generale:
  [math](b^m)^n=b^{m \cdot n}[/math]

  

  Esempi numerici sono i seguenti riportati:

  [math](2^3)^4 [/math]

  Bisogna calcolare il prodotto degli esponenti. Da cui si avrà il seguente risultato riportato:

  [math] 2^{3 \cdot 4}[/math]

• Casi particolari.
  [math]0^0 [/math]
  non ha significato in quanto è una forma indeterminata.
  [math]0^n= 0 [/math]
  zero elevato a qualsiasi numero reale dà come risultato sempre zero.

Espressioni con le potenze

Quando si è in presenza di espressioni con potenze è necessario andare a definire delle regole di base attraverso cui si può procedere alla risoluzione delle espressioni presenti.

Regola 1

in presenza di parentesi è necessario andare a risolvere le operazioni nel seguente ordine, ovvero prima parentesi tonde, poi parentesi quadre e poi le graffe. Sicuramente l'ordine più generico da seguire è quello di procedere dalle parentesi che si trovano più internamente e poi quelle esterne.

Regola 2

si procede al calcolo delle potenze, dove risulta essere possibile, attraverso le proprietà delle potenze e operazioni algebriche tra le potenze precedentemente riportate.

Regola 3

si procede al calcolo di moltiplicazioni e divisioni in base all'ordine presentato dall'espressione algebrica.

Regola 4

si procede infine alla risoluzione di addizioni e sottrazioni sempre in base all'ordine presentato dall'espressione algebrica.
Di seguito un esempio numerico:

Da cui si ottiene sfruttando tutte le regole già viste relativamente alle operazioni algebriche e risolvendo l'espressione nell'ordine corretto:

Questo è il risultato dell'espressione algebrica.