Potenze: definizione, proprietà ed esempi applicativi

In questo appunto di matematica si parla delle potenze, partendo dalla teoria fino ad arrivare alla pratica.
In seguito si descriveranno le varie proprietà e regole relative alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e di divisione con le potenze. Verranno svolti anche brevi esempi che ci faranno capire la teoria.

Che cosa sono le potenze? Definizione

Per capire le potenze, immaginiamo di moltiplicare un numero più volte per sé stesso.
Quindi, le potenze non sono nient’altro che delle moltiplicazioni ripetute.
Per esempio:

Si può scrivere come:

E si legge “due elevato alla quarta” o semplicemente “due alla quarta”.
L’operazione che abbiamo appena fatto si chiama elevamento a potenza e serve per abbreviare la scrittura della moltiplicazione ripetuta.
La definizione rigorosa di potenza è la seguente: si chiama potenza n-esima di un numero

, la moltiplicazione del numero

per se stesso

volte.
Dove

sarà l’esponente della potenza ed

sarà la base della potenza; mentre,

sarà il risultato della potenza:

La base della potenza a può essere un numero reale qualsiasi, perciò può essere positivo o negativo, intero, razionale, irrazionale o complesso e via dicendo.

Quindi è necessario avere una buona conoscenza delle operazioni che si possono fare con le potenze per non sbagliare.

Per ulteriori approfondimenti sulla definizione di potenze vedi anche qua

Che valori può assumere la base della potenza?

Come abbiamo già detto, la base della potenza può essere un numero qualsiasi.
Ad esempio:

Quindi, si possono dedurre le seguenti proprietà:

• Se l’esponente è pari:
  
  [math](-a)^n =(-a)\cdot(-a)\cdot..\cdot(a)=+(a^n) [/math]
• Se l’esponente è dispari:
  
  [math](-a)^n =(-a)\cdot(-a)\cdot...\cdot(-a) = - (a^n)[/math]

In altre parole:

• Se la base è positiva, il risultato finale è indipendente dall’esponente, e sarà sempre positivo;
  
• Se la base è negativa, il risultato finale è dipendente dall’esponente, in particolare se l’esponente sarà positivo allora il risultato finale sarà positivo, se l’esponente è negativo, il risultato finale sarà negativo.
  

Che valori può assumere l’esponente della potenza?

L’esponente della potenza può essere, così come la base, un qualsiasi numero, in particolare può essere positivo, negativo, razionale e irrazionale.
Nel caso di un numero negativo, dobbiamo prendere il reciproco della base con l’esponente positivo, ad esempio:

Nel caso di un numero razionale, si avrà che il denominatore dell’esponente è l’indice della radice, mentre il numeratore dell’esponente è l’esponente dell’argomento della radice, ad esempio:

Nel caso di un esponente irrazionale, la trattazione diventa può complicata e si deve fare riferimento alla regola dei logaritmi, ad esempio:

Elevazione alla

[math]0[/math]

: caso particolare

Un caso particolare si ha quando l’esponente è

, a prescindere dal valore della base, il risultato di una qualsiasi potenza con esponente

avrà come risultato

, ad esempio:

Proprietà delle potenze

Elenchiamo tutte le proprietà principali delle potenze, anche le proprietà relative alle operazioni descritte in seguito:

• [math]a^{0}=1[/math]
• [math]a^{n}\cdot\ a^{m} =a^{n+m}[/math]
• [math]\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}[/math]
• [math](a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}[/math]
• [math]a^{-n}=\frac{1}{a^n}[/math]
• [math]a^{n}\cdot\ c^{n} =(a\cdot c)^{n}[/math]
• [math]\frac{a^{n}}{c^{n}}=(\frac{a}{c})^{n}[/math]
• [math]a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle potenze vedi anche qua

Operazioni principali che si possono fare con le potenze: addizione

Per quanto riguarda l’operazione di addizione con le potenze, andiamo innanzitutto a risolvere il risultato di ogni potenza e poi sommiamo, ad esempio:

Operazioni principali che si possono fare con le potenze: sottrazione

Per quanto riguarda l’operazione di sottrazione con le potenze, andiamo innanzitutto a risolvere il risultato di ogni potenza e poi sottraiamo, ad esempio:

Operazioni principali che si possono fare con le potenze: moltiplicazione

Per quanto riguarda l’operazione di moltiplicazione con le potenze, andiamo ad applicare la regola citata nel paragrafo soprastante “Proprietà delle potenze”.
Per la stessa base si ha:

Ad esempio:

Per basi diverse si ha:

Ad esempio:

Operazioni principali che si possono fare con le potenze: divisione

Per quanto riguarda l’operazione di divisione con le potenze, andiamo ad applicare la regola citata nel paragrafo soprastante “Proprietà delle potenze”.
Per la stessa base si ha:

Ad esempio:

Per basi diverse si ha:

Ad esempio:

Esempi applicativi

Facciamo alcuni esempi che ci aiutano a capire quello che è stato spiegato finora:

• [math]4^{0}=1[/math]
• [math]3^{2}\cdot\ 3^{4} =3^{2+4}=729[/math]
• [math]\frac{5^{2}}{5^{1}}=5^{2-1}=5[/math]
• [math](7^{2})^{3}=7^{2\cdot3}=117649[/math]
• [math]4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64} [/math]
• [math]2^{2}\cdot\ 7^{2} =(2\cdot7)^{2}=196[/math]
• [math]\frac{9^{2}}{3^{3}}=\frac{9}{3}^{2}=9[/math]
• [math]11^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{11^3}[/math]