Potenze con esponente frazionario
Ricordiamolo ancora una volta (così ci rimarrà impresso nella mente per sempre):
la potenza
che mi dice di moltiplicare
Allora
la potenza frazionaria [math]b[/math]
che mi dice di moltiplicare
Ok, ma come si realizza questo prodotto frazionario???
La potenza frazionaria di un numero è legata alla sua estrazione di radice.
Vediamo di capire in che modo, analizzando un semplice esempio.Ragioniamo sulla radice quadrata di 4, che indichiamo con
Quando dobbiamo calcolarla, cerchiamo quel numero
Ok e, naturalmente, sappiamo tutti che questo numero
Quindi siamo arrivati a questa conclusione
Per ottenere la seconda uguaglianza è come se avessimo diviso l'esponente del radicando per l'indice della radice .
ESATTO!!! È proprio questo che si fa quando estraiamo la radice - di indice qualsiasi - di un numero.
Esempi:
\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3^{3/3} = 3^1 = 3\ \Rightarrow\ 3^3 = 27\\
\sqrt[6]{531441} = \sqrt[6]{3^12} = 3^{12/6} = 3^2 = 9\ \Rightarrow\ 9^6 = 531441[/math]
Abbiamo così capito da dove derivino le potenze con esponente frazionario! O meglio, abbiamo capito come esprimere sotto forma di potenza una radice di indice qualsiasi:
Allora, permutando i membri di questa uguaglianza, otteniamo la definizione di potenza con esponente razionale
Esempi:
7^{5/4} = \sqrt[4]{7^5} = \sqrt[4]{16807}[/math]
E se volessimo calcolare una potenza con esponente razionale negativo? (Ricordiamo la definizione di potenza con esponente negativo: il segno - dell'esponente capovolge la potenza):
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