Numeri complessi e forma trigonometrica

La forma trigonometrica di un numero complesso

Un numero complesso può essere scritto in varie forme: la forma algebrica identificabile nella scrittura z = a + bi e in forma trigonometrica.
Ogni numero complesso corrisponde ad un vettore di componenti a e b. Si può quindi distinguere il modulo e l'argomento di un numero complesso con delle coordinate polari del suo punto di immagine P. Le coordinate polari, a differenza di quelle cartesiane che sono scritte in (x;y), rappresentano un numero attraverso [r;alpha]: un segmento orientato nel piano di Gauss di cui conosciamo la lunghezza r e l'inclinazione alpha.

Poiché valgono le relazioni a=r*cosx e b=r*senx si ha che =======>

a+bi = r*cosx + (r*senx)*i = r[cosx+(senx)*i]

dove r è uguale alla radice quadrata di a^2+b^2 e l'angolo x si può ricavare da tgx = b/a da cui x = arcotangente di x

La moltiplicazione tra due numeri complessi scritti in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei numeri dati e per argomento la somma degli argomenti.

z1*z2= r*s[cos(alpha+beta)+i*sen(alpha+beta)]

Il rapporto tra due numeri complessi scritti in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei numeri dati e per argomento la differenza degli argomenti.

z1/z2= r/s[cos(alpha-beta)+i*sen(alpha-beta)]

La potenza n-esima di un numero complesso è calcolabile con la seguente formula, detta anche formula di De Moivre, dove appunto la potenza è data da un numero complesso che per modulo la potenza del modulo e per argomento il prodotto dell'esponente per l'argomento del numero dato.

[r*(cosalpha+i*senalpha)]^n = r^n*(cosalpha*n+i*senalpha*n)