Moltiplicazione e divisione tra frazioni

Questo appunto affronta il concetto di moltiplicazione e divisione tra frazione, andando dunque a sottolineare come la comprensione di questo argomento sia essenziale per andare avanti nello studio degli argomenti di matematica avanzata.

Definizioni e concetti di base

Prima di approfondire l-argomento, procediamo andando a definire alcuni concetti fondamentali di base e ponendo qualche concetto di base per poter affrontare gli argomenti successivi.

Andiamo a definire il concetto di quoziente, moltiplicazione, definizione, la legge dell'annullamento del prodotto e il quoziente di due numeri interi.
Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve sempre essere diverso da 0.
Per quanto concerne invece il concetto di moltiplicazione e divisione, abbiamo quanto segue.
Nella moltiplicazione basta che lo 0 compaia una sola volta tra i fattori per annullare il prodotto. Lo 0 è quindi un numero che, moltiplicato per qualsiasi numero, dà come risultato se stesso. Per questo lo 0 viene detto elemento assorbente della moltiplicazione.
Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori.
Infine, in merito al quoziente di due interi abbiamo quanto segue.
Il quoziente di due numeri interi, quando il primo è multiplo del secondo e il secondo è diverso da 0, è un intero che ha:

• per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti dei due numeri;
• per segno quello dato dalle regole di segno della moltiplicazione.

Per ulteriori approfondimenti sulle moltiplicazioni e divisioni con i numeri relativi vedi qui

Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva

Gli ultimi concetti che dobbiamo andare ad approfondire riguardano proprio le frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva delle frazioni.
Ma che cosa si intende per Frazioni equivalenti?
Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima per il numeratore della seconda.
Infine è possibile andare a definire una proprietà di eccezionale e fondamentale importanza che è la proprietà invariantiva.
Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da 0 sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente. Allo stesso modo si possono dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da 0, purché sia divisore di entrambi.

La semplificazione di frazioni

Possiamo andare adesso al centro dell'argomento della lezione di oggi, ovvero la semplificazione delle frazioni. Con le frazioni è possibile andare ad eseguire una serie di operazioni con le frazioni, che hanno lo scopo finale di andare a ridurre le frazioni ai termini più più semplici delle stesse. Data una frazione, quando applichiamo la proprietà invariantiva dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero, diciamo che semplifichiamo la frazione.
Se semplifichiamo il più possibile una frazione, giungiamo alla frazione ridotta ai minimi termini, nella quale numeratore e denominatore non hanno più divisori in comune diversi da 1. Per ridurre una frazione ai minimi termini è sufficiente dividere il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D.

La riduzione di frazioni a denominatore comune

Ma che cosa si intende per riduzione di frazioni a denominare comune?
«Ridurre a denominatore comune» due frazioni significa trovare altre due frazioni aventi lo stesso denominatore, ciascuna equivalente a una
delle frazioni date. Applicando la proprietà invariantiva, si possono trovare infinite soluzioni a questo problema.
Per semplicità di calcolo, fra tutti i possibili denominatori comuni si sceglie il più piccolo, cioè il m.c.m. fra i denominatori: si parla allora di riduzione al minimo denominatore comune.

Moltiplicazione e divisione tra frazioni

Una frazione non è altro che la rappresentazione tramite divisione tra due numeri interi, presenti a numeratore e denominatore, di un numero con la virgola. Come dei normali numeri le frazioni si possono anche moltiplicare e dividere.
Per moltiplicare due frazioni basta moltiplicare il numeratore dell'una con il numeratore dell'altra, e moltiplicare ugualmente anche i due denominatori.Prima di fare questo però, per evitare di ottenere a numeratore e denominatore numeri troppo grandi, dobbiamo semplificare le due frazioni.
Due frazioni si possono semplificare tra numeratore e denominatore della stessa frazione, oppure tra numeratore e denominatore delle due diverse frazioni.
Per semplificare le frazioni basta dividere per il divisore più grande rispetto alle due parti da semplificare.

Esempi di semplificazioni di frazioni

Qui di seguito procediamo nell'andare a fare qualche esempio di semplificazioni tra frazioni.

La divisione tra due frazioni, invece, è come la moltiplicazione tra la prima fazione ed il reciproco della seconda.
Qui di seguito un esempio pratico di quanto detto precedentemente.

Approfondimenti: Proprietà delle moltiplicazioni tra frazioni

Qui di seguito alcuni approfondimenti utili alla comprensione della lezione.
Per le moltiplicazioni tra frazioni sono valide esattamente le stesse proprietà che sono valide per le moltiplicazioni tra numeri naturali.
La proprietà commutativa: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non varia.
La proprietà associativa: sostituendo a due fattori il loro prodotto, il risultato della moltiplicazione non cambia.
La proprietà distributiva: rispetto alla somma: moltiplicare una frazione per una somma di frazione, è uguale a moltiplicare la frazione per ogni addendo e poi sommare.
La semplificazione in verticale e in diagonale vale sempre, e viene usata in generale per andare a rendere più semplici e facili i calcoli, andando così a semplificare le frazioni, e dunque andando ad eliminare i divisori comuni ai numeratori e ai denominatori prima di andare ad eseguire la moltiplicazione. Se un numeratore e un denominatore delle frazioni hanno un divisore comune e dividiamo per questo.