Cos'è il minimo comune denominatore e come si calcola

In quest'appunto di matematica sono presenti tutte le informazioni riguardanti la definizione di minimo comune denominatore e come si calcola in maniera pratica.

Cos'è e a cosa serve il minimo comune denominatore

In matematica, ci sono diversi insiemi numerici come i numeri interi, i numeri relativi, i numeri complessi etc.

Grazie agli elementi di questi insiemi, è possibile effettuare delle operazioni come la moltiplicazione, l'addizione, la sottrazione e la divisione.

Quando si parla di numeri frazionari- ossia numeri espressi attraverso una frazione - effettuare le operazioni di somma e differenza risulta leggermente più complesso.

Se, infatti, i numeri non frazionari sono formati semplicemente da un insiemeo da una successione di cifre, i numeri frazionari presentano un numeratore e un denominatore. Il numeratore è la cifra o il numero presente al di sopra della linea di frazione, mentre il denominatore è la cifra o il numero al di sotto. Quando si effettuano somme o differenze con questa tipologia di numeri, bisogna tenere conto di questa caratteristica importante.

Il discorso non può essere esteso a moltiplicazioni e a divisioni tra frazioni, per cui trovare un risultato è una questione piuttosto semplice. In tal caso, il risultato sarà una frazione cui numeratoree denominatore sono calcolati attraverso il prodotto tra i numeratori e i denominatori dei due fattori o, nel caso della divisione, del primo fattore e del reciproco del secondo. Di seguito alcuni esempi di operazioni tra frazioni:

,

.

Come si calcola il minimo comune denominatore

Il calcolo del minimo comune denominatore coinvolge due o più frazioni. Per effettuarlo bisogna prima di tutto scomporre in fattori primi i denominatori da considerare.

Fare la scomposizione in fattori primi significa scrivere un determinato numero come un prodotto tra numeri primi. Per fare manualmente questa scomposizione è opportuno conoscere il concetto di perfetta divisibilità. Un numero è perfettamente divisibile per un altro numero quando il resto della divisione è nullo.

Per conoscere i fattori primi che compongono un numero, infatti, bisogna dividerlo in maniera successiva per il più piccolo divisore perfetto disponibile e tenere nota di quante volte questo viene utilizzato. Il numero di volte in cui un divisore è utilizzato in una scomposizione diventa l'esponente nella scrittura scomposta.

Esempi svolti e commentati sul calcolo del minimo comune denominatore e sulla scomposizione in fattori

Per rendere questa trattazione più chiara, passiamo subito a un esempio. Consideriamo di voler sommare le frazioni

e

. Come abbiamo già anticipato, per effettuare quest'operazione è necessario calcolare il minimo comune denominatore poiché le due frazioni hanno denominatore differente.

Il primo passo per conoscere il minimo comune multiplo tra i divisori in questo caso è scomporre i denominatori. Essi possono essere scomposti così:

In questo caso, la scomposizione in fattori primi del numero

è

.

Passiamo all'altro numero, cioè al numero

Per calcolare il minimo comune multiplo tra i numeri - che corrisponde in questo caso al minimo comune denominatore - bisogna considerare i fattori comuni e non comuni, considerandoli con l'esponente maggiore.
In questo caso, quindi, il minimo comune multiplo è

In questo caso, la scomposizione in fattori primi è

.

Facciamo un altro esempio. Consideriamo le due frazioni

e

.
Scomponiamo i due denominatori in fattori primi per valutare la forma scomposta:

Da cui discende che la scomposizione in fattori prima del numero

è

Da cui si può evincere che la scomposizione in fattori primi del numero

è:

.

Seguendo lo stesso meccanismo, possiamo anche in questo caso calcolare il minimo comune divisore. I fattori in comune presi con l'esponente massimo sono

e

, mentre quelli non in comune sono

e

. Quindi il minimo comune divisore in questo caso è

Per ulteriori approfondimenti sul minimo comune divisore vedi anche qua