Moltiplicazione e divisione con i numeri relativi: cenni di teoria e regole

In questo appunto di algebra si parla dei numeri relativi, partendo dalla teoria fino ad arrivare alla pratica.
In seguito si descriveranno i vari casi che possiamo avere quando andiamo a fare la moltiplicazione e la divisione, facendo brevi esempi che ci faranno capire la teoria.

Che cosa sono i numeri relativi? Definizione e insieme di appartenenza

I numeri relativi rappresentano tutti i numeri interi e non.
Essi sono dotati di segno, cioè possono essere positivi o negativi:

Oltre ai numeri interi possiamo considerare altre tipologie di numeri, come i numeri razionali (ad esempio le frazioni) e i numeri irrazionali (ad esempio le radici).
I numeri interi relativi fanno parte di un insieme, chiamato l’insieme dei numeri interi relativi.
Si indica con

ed a questo insieme appartengono i numeri interi negativi, lo zero e i numeri interi positivi.
I numeri relativi possono essere rappresentati con una retta, dove al centro posizioniamo lo

.
Lo

non è un numero né positivo né negativo.
A destra dello

troviamo i numeri interi relativi positivi, a sinistra dello

invece troviamo i numeri interi relativi negativi.

Operazioni principali che si possono fare con i numeri relativi

Con i numeri relativi possiamo eseguire le principali operazioni matematiche quali la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.
In questo appunto ci concentreremo sulla moltiplicazione e sulla divisione.
Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni con i numeri relativi vedi anche qua.

Regola del valore assoluto

Una proprietà molto importante dei numeri relativi è il valore assoluto, esso è definito da due linee rette verticali che racchiudono il numero.
Il valore assoluto di un numero, è lo stesso numero ma senza segno; in altre parole tutti i numeri che vengono sottoposti al valore assoluto non sono né positivi né negativi.
Facciamo un esempio:

Regola dei segni

Prima di iniziare con la trattazione delle operazioni di moltiplicazione e divisione bisogna concentrarci su una regola molto importante, la regola dei segni.
Essa è abbastanza intuitiva.
Se abbiamo due numeri entrambi positivi, essi ci daranno un risultato positivo; anche due numeri entrambi negativi ci daranno un risultato positivo.
Banalmente “più per più fa più” o “meno per meno fa più”.
Ma, se moltiplichiamo due numeri con segno diverso, uno positivo e uno negativo, essi ci daranno un risultato negativo.
Banalmente, “più per meno fa meno”.
Quando due numeri hanno lo stesso segno si dicono concordi.
Quando due numeri hanno segno opposto si dicono discordi.

Ad esempio:

e

sono concordi.
Anche

e

sono concordi.
Mentre,

e

sono discordi, proprio perché hanno un segno diverso tra di loro.

Per spiegare la regola dei segni abbiamo fatto riferimento all’operazione della moltiplicazione, ma tutto ciò che è stato detto vale anche per la divisione.
Quindi:
“più diviso più, fa più”.
“meno diviso meno, fa più”
“più diviso meno, fa meno”

Operazione di moltiplicazione con i numeri relativi

La moltiplicazione è quella operazione tra due numeri, chiamati moltiplicando e moltiplicatore, che ci fornisce un risultato, chiamato prodotto, più elevato dei singoli numeri che andiamo a moltiplicare.

Prima di tutto, dobbiamo moltiplicare i valori assoluti dei numeri interessati e poi andiamo a trovare il trovare il segno.
Possiamo distinguere tre casi, a seconda del segno che ogni numero possiede:

• 1° caso: moltiplichiamo tra loro due numeri con segno positivo, otterremo per la regola dei segni un prodotto positivo:
  
  [math]+3 \times\ +4 =+12[/math]
• 2° caso: moltiplichiamo tra loro due numeri con segno negativo, otterremo per la regola dei segni un prodotto positivo:
  
  [math]-2 \times\ -3 = +6[/math]
• 3° caso: moltiplichiamo tra loro due numeri con segno opposto, uno positivo e l’altro negativo, otterremo per la regola dei segni un prodotto negativo:
  
  [math]-2 \times\ +4 = -8[/math]

Per ulteriori approfondimenti su come si svolge l’operazione di moltiplicazione vedi qua

Operazione di divisione con i numeri relativi

La divisione è quella operazione tra due numeri, chiamati dividendo e divisore, che ci fornisce un risultato, chiamato quoziente, più basso dei singoli numeri che andiamo a dividere.

Le regole sono esattamente le stesse della moltiplicazione, innanzitutto dividiamo i valori assoluti dei numeri interessati e poi andiamo a trovare il trovare il segno tramite la regola dei segni.

Possiamo distinguere tre casi, a seconda del segno che ogni numero possiede:

• 1° caso: dividiamo tra loro due numeri con segno positivo, otterremo per la regola dei segni un quoziente positivo:
  
  [math]+12 \div\ +3 =+4[/math]
• 2° caso: dividiamo tra loro due numeri con segno negativo, otterremo per la regola dei segni un quoziente positivo:
  
  [math]-8 \div\ -4=+2[/math]
• 3° caso: dividiamo tra loro due numeri con segno opposto, uno positivo e l’altro negativo, otterremo per la regola dei segni un quoziente negativo:
  
  [math]-16 \div\ +4 =-4[/math]

Per ulteriori approfondimenti su come si svolge l’operazione di divisione vedi qua