Disequazioni fratte - Procedimento ed esercizi

In questo appunto viene spiegato in modo approfondito il procedimento da seguire per risolvere una disequazione fratta, con ripasso delle caratteristiche della disequazione fratta e con esercizi svolti.

Disequazione fratta: definizione

Una disequazione si dice fratta quando è composta da una frazione nella quale è presente l’incognita x a denominatore.
Perciò la seguente disequazione non è fratta:

Mentre tale disequazione è classificata come una disequazione fratta:

Dato che tali disequazioni contengono una frazione è necessario calcolare le condizioni di esistenza dell’espressione: ricordiamo che le condizioni di esistenza di una frazione impongono che affinché l’espressione abbia significato è necessario che il denominatore non sia uguale a zero.

La risoluzione delle disequazioni fratte è leggermente diversa rispetto a quella delle disequazioni tradizionali in quanto prevede dei passaggi risolutivi in più poichè richiede lo studio del segno sia del denominatore che del denominatore.
Le disequazioni che contengono una frazione ma che non sono classificate come fratte (disequazioni che contengono un numero a denominatore) possono invece essere risolte utilizzando le regole delle disequazioni tradizionali.

Risolvere una disequazione fratta significa trovare i valori della x per i quali la frazione assume dei valori positivi o negativi a seconda del segno riportato nell’espressione iniziale.
Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni e sulle loro proprietà vedi anche qua

Disequazione fratta: risoluzione

Una disequazione fratta si può sempre scrivere, senza perdita di generalità , in uno dei seguenti due modi

[math]\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0[/math]

[math]\frac{N(x)}{D(x)}>0[/math]

Generalmente l’espressione che ci viene fornita in un esercizio non si presenta nella forma sopra riportata, prima di seguire il procedimento riportato è quindi necessario riarrangiare l’espressione utilizzando le regole di algebra generale come ad esempio la somma di frazioni o il prodotto tra monomi o polinomi.

Se la disequazione si presenta con il verso di disuguaglianza

o , è sufficiente moltiplicare ambo i membri per per ricondursi ad una delle precedenti forme.

Caso

[math]\frac{N(x)}{D(x)} \ge 0[/math]

Per risolvere una disequazione fratta nella forma

, occorre per prima cosa risolvere separatamente le disequazioni e .

In altre parole per risolvere questo tipo di disequazioni è necessario studiare il segno del numeratore e del denominatore in modo separato; ricordiamo che per studiare il segno è necessario verificare quando l’espressione è positiva, si pone quindi l’espressione maggiore e uguale a zero.

La disequazione fratta risulta soddisfatta per le

tali che e contemporaneamente , oppure e contemporaneamente .
Si può notare come nello studio del segno del denominatore non si è utilizzato il segno di maggiore e uguale ma si è utilizzato solo il segno maggiore; tale accorgimento va sempre prestato in quanto il denominatore non può essere mai uguale a zero altrimenti l’espressione perde di significato. È quindi necessario porre il denominatore esclusivamente maggiore di zero.

Lo studio del segno di numeratore e di denominatore viene fatto in quanto vogliamo conoscere quando entrambi i membri sono positivi o negativi.
Ricordiamo che una frazione ci da complessivamente un risultato positivo quando il numeratore e il denominatore sono o entrambi positivi o entrambi negativi; una frazione invece ci da un valore complessivamente negativo quando il numeratore è positivo mentre il denominatore è negativo o viceversa.
Per studiare il segno della disequazione fratta è quindi necessario studiare il segno di numeratore e di denominatore e valutare infine il segno complessivo dell’espressione.

Esempio: risolvere

.

Possiamo notare come l’espressione differisca da quelle riportate in precedenza in quanto è presente il numero 1 a destra dell’uguale; è quindi necessario riarrangiare la disequazione per ricondursi ad una disequazione in cui da un lato del segno è presente il numero 0.

Portando il termine

al primo membro e facendo il denominatore comune, si ottiene

Quindi la disequazione è soddisfatta per

, dato che in tale intervallo numeratore e denominatore sono entrambi negativi. Non esistono invece intervalli in cui numeratore e denominatore siano entrambi positivi.

Caso

[math]\frac{N(x)}{D(x)} > 0[/math]

Per risolvere una disequazione fratta nella forma , occorre per prima cosa risolvere separatamente le disequazioni e .

In altre parole per risolvere questo tipo di disequazioni è necessario studiare il segno del numeratore e del denominatore in modo separato; ricordiamo che per studiare il segno è necessario verificare quando l’espressione è positiva, si pone quindi l’espressione maggiore di zero.

La disequazione fratta risulta soddisfatta per le

tali che e contemporaneamente , oppure e contemporaneamente .

Si può notare come questo caso sia analogo al caso precedente, con l’eccezione che il segno di disuguaglianza che compare nell’espressione è solo maggiore e non maggiore uguale, tale differenza comporta che nello studio finale del segno sia il numeratore che il denominatore vadano posti unicamente maggiori di 0.

Esempio: risolvere

.
Per prima cosa si studia il segno del numeratore e del denominatore.

Quindi la disequazione è soddisfatta per

.

Infatti nell'intervallo

numeratore e denominatore sono entrambi negativi, invece nell'intervallo numeratore e denominatore sono entrambi positivi.
Per ulteriori approfondimenti sulle disequazioni e il procedimento da seguire per risolverle vedi anche qua