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Disequazioni fratte



Le disequazioni possono essere definite come una disuguaglianza fra due espressioni, possono essere di due tipologie: lineari e fratte. La differenza tra le due tipologie risiede nella posizione dell'incognita. Vengono definite lineari quelle disequazioni la cui incognita non compare al denominatore ma solamente al numeratore, nel caso in cui l'incognita compaia anche al denominatore, allora, la disequazione è fratta.
Nel caso delle disequazioni fratte dobbiamo effettuare un passaggio in più: studiare il segno della disequazione.

Dopo aver effettuato questa distinzione passiamo al loro svolgimento prendendo una disequazione del tipo:

(x^2-4)/(1+x)≥0.


1. Dovendo determinare il segno del numeratore e del denominatore dobbiamo porre sia il numeratore che il denominatore maggiori o uguali di zero.
2. Poniamo il numeratore maggiore o uguale di zero e il denominatore (strettamente) maggiore in quanto l'espressione trovandosi al denominatore non può assumere un valore pari a zero altrimenti la disequazione perderebbe di significato.

Quindi, procediamo come segue:

1. (x^2-4)≥ 0
2. (1+x)>0

Svolgendo i calcoli otteniamo che le soluzioni della prima disequazione (quella al numeratore) assume valori esterni a -2 e 2, infatti, x≤-2 v x≥2,la seconda, invece, assume valori maggiori di -1.
Riassumendo possiamo dire che, per lo studio del segno, le soluzioni sono le seguenti:
1. x≤-2 v x≥2;
2. x> -1.
Una volta che abbiamo determinato queste condizioni non ci resta che studiare il segno della disequazione e vedere quando assume valori maggiori di zero come indicato dal segno della stessa.

Facendo il relativo schema, quindi, ponendo in ordine crescente i valori e individuando la positività e la negatività, si ottiene che le soluzioni della disequazione sono le seguenti (cioè quei valori per i quali la disequazione è positiva):
-2≤x