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Svolgimento delle disequazioni fratte e rispettivi sistemi

Le disequazioni fratte sono particolari disequazioni (ossia espressioni matematiche in cui si richiede di calcolare per quali valori di un'incognita, normalmente X, una certa stringa sia maggiore, minore, maggiore od uguale o minore ad uguale ad un'altra stringa: in pratica, si tratta di equazioni dove al posto dell'"=" compare ">", "<", "

[math]\ge[/math]
" o "
[math]\le[/math]
") in cui l'incognita richiesta compare anche ai denominatori delle frazioni. Esse richiedono un procedimento particolare, diverso da quello delle disequazioni numeriche.
Consiste essenzialmente di 3 parti: nella prima si attua un trasporto, nella seconda l'equazione viene ridotta e nella terza si trovano le soluzioni.
Prenderemo un'equazione a titolo di esempio, e man mano ne esplicheremo il procedimento per risolverla. Eccola:
[math]\frac{(\frac{1}{4}x-4)^2}{x}+3 \le \frac{(\frac{1}{4}x+4)^2}{x}+4(4-x)[/math]

La prima cosa da fare è portare tutto al primo membro, così che al secondo rimanga soltanto uno 0. È importante ricordare la regola del trasporto in questi casi, e cioè che tutto ciò che cambia membro inverte il proprio segno.
Nel nostro caso otteniamo:

[math]\frac{(\frac{1}{4}x-4)^2}{x}+3 -\frac{(\frac{1}{4}x+4)^2}{x}-4(4-x) \le 0[/math]

Nel prossimo stadio dovremo svolgere la disequazione normalmente, semplificandola dunque: la prima cosa da fare è dunque trasformare tutto in frazioni con lo stesso denominatore per poter eseguire le varie somme algebriche, per poi eseguire i calcoli e ridurre effettivamente tutto ad un'unica frazione. Per il momento è sconsigliato applicare la proprietà invariantiva (cioè "tagliare" i fattori delle frazioni dopo una scomposizione), dato che potrebbe complicare i passaggi successivi.

Dunque svolgiamo:

[math]\frac{(\frac{1}{4}x-4}^2{x}+\frac{3x}{x}-\frac{(\frac{1}{4}x+4)^2{x}-\frac{16x-4x^2}{x} \le 0

\frac{\frac{1}{16}x^2-2x+16+3x-\frac{1}{16}x^2-2x-16-16x+4x^2}{x} \le 0

\frac{-17x+4x^2}{x} \le 0[/math]

Abbiamo ridotto così il tutto ad una frazione unica. Chiaramente abbiamo ridotto il problema al dover meramente determinare se questa frazione sia positiva, negativa o nulla e per quali valori accade ognuno di questi. Adesso dobbiamo quindi scomporla:

[math]\frac{x(4x-17)}{x} \le 0[/math]

Ora comincia un procedimento a sé stante.

Per prima cosa prendiamo ogni fattore del denominatore ed imponiamolo diverso da 0: x

[math]\not=[/math]
0
Per prima cosa elenchiamo tutti i fattori della frazione, così:
{-x
4x-17
x}
Adesso osserviamo il segno della disequazione.
{Se è "maggiore", scriviamo accanto a tutti i fattori ">0".
{Se è "minore", scriviamo accanto a tutti i fattori ">0".
{Se è "minore od uguale", scriviamo accanto ai fattori del NUMERATORE (sopra) "
[math]\ge[/math]
0" e ">0" accanto a quelli del DENOMINATORE (sotto).
{Se è "maggiore od uguale", faremo la stessa identica cosa per il maggiore od uguale (I SEGNI NON DIVENTANO DEI "MINORI"!)

Nel nostro caso otteniamo:
{x

[math]\ge[/math]
0
4x-17
[math]\ge[/math]
0
x > 0}

Risolviamole:

{x

[math]\ge[/math]
0
x
[math]\ge[/math]
17/4
x > 0}

A questo punto dobbiamo elaborare un diagramma. Ecco i vari passaggi.
I)Traccia una retta orizzontale.
II)Scrivi tutte le soluzioni sulla retta, in ordine e distinte: nel nostro caso scriveremo prima 0 e più a destra 17/4 (Non porremo mai due numeri uguali).
III) Per ogni numero tira una linea verticale. Poi per ogni soluzione metti un pallino, a differenti altezze.
Nel nostro caso, dato che 17/4 risolve una disequazione della lista e 0 ne risolve due, porremo sulla linea del primo un pallino e sull'altra due.

IV)Colora i pallini corrispondenti a disequazioni con segni "maggiore od uguale" o "minore od uguale".
Nel nostro caso, l'equazione del 17/4 aveva un maggiore od uguale, quindi ne coloriamo il pallino.
Delle due equazioni dello zero, una aveva un minore od uguale, l'altra un maggiore, quindi ne coloriamo solo uno.
Avrete capito che ogni pallino rappresenta una delle disequazioni della lista.
V)Per tutti i pallini che rappresentano disequazioni con segno "maggiore od uguale" o "maggiore" tirate una linea continua verso destra ed una tratteggiata verso sinistra (od anche di un diverso colore, l'importante è che distinguiate le due linee). Per gli altri, fate la stessa cosa invertendo le direzioni, cioè tracciando la continua a sinistra e la diversa a destra.
VI)Delimitate tutti gli intervalli tra i numeri. Nel nostro caso ne avremo 3: quello dopo il 17/4, quello tra questo e lo zero, e quello prima dello zero.
VII) Contiamo in ogni intervallo il numero di linee "diverse": se è pari, scriviamoci sopra "+", altrimenti "-".

Ora osserviamo il segno della disequazione: se è un "maggiore/maggiore od uguale" prendiamo gli intervalli col +, altrimenti quelli col - (come nel nostro caso). Se il numero è segnato con un pallino e si trova al confine o dentro di un intervallo-soluzione (nel nostro caso sono entrambi contenuti), anche quello sarà soluzione.
Quelle sono le soluzioni, e dovremo solo escludere il campo di esistenza.
Nel nostro caso: sotto 17/4 è soluzione, ed anche 0 e 17/4 sono soluzione, ma il campo di esistenza ci impone di escludere lo 0.
Allora le soluzioni sono x

[math]\le[/math]
17/4, x
[math]\not=[/math]
0.

ATTENZIONE: per scrivere il risultato, se va da un certo numero e si estende all'infinito usa la notazione normale già mostrata (x maggiore, minore ecc. di un certo numero), altrimenti se è un intervallo racchiuso si usa "compreso", scritto "un numero<x<un altro numero", letto "x compreso tra un numero ed un altro numero".

Voilà!

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