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Funzione inversa e funzione composta

Partiamo con la definizione di funzione invertibile e funzione inversa:
Una funzione
[math]f[/math]
si dice invertibile se e solo se ogni elemento del suo insieme immagine ha un'unica controimmagine. In tal caso si chiama funzione inversa di
[math]f[/math]
e si indica con il simbolo
[math]f^{-1}[/math]
la funzione che associa a ciascun elemento dell'insieme immagine la sua controimmagine. Da questa definizione possiamo dunque facilmente capire che il dominio di
[math]f^{-1}[/math]
è l'insieme immagine di
[math]f[/math]
mentre l'insieme immagine di
[math]f^{-1}[/math]
è il dominio di
[math]f[/math]
.
Ma come si capisce se una funzione è invertibile o no osservando solamente il grafico? Bisogna verificare che ogni retta orizzontale parallela all'asse x intersechi il grafico della funzione al massimo in un punto. Dunque, una funzione lineare sarà sempre invertibile perchè il grafico è una semplice retta mentre una funzione di proporzionalità quadratica, per esempio, non lo sarà perchè il suo grafico è una curva.
Supponiamo che y = f(x) sia una funzione invertibile reale di variabile reale. Che relazione c'è tra il suo grafico e il grafico della relazione inversa? Scopriamolo riflettendo. Se f(a) = b, la sua funzione inversa sarebbe
[math]f^{-1}(b) = a[/math]
. Dunque, se il punto P(a, b) appartiene al grafico di f, il punto P'(b, a) appartiene al grafico della funzione f^(-1). Notiamo dunque che i 2 punti sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Generalizziamo il tutto e troviamo una definizione:
Il grafico della funzione
[math]f^{-1}[/math]
, ovvero la funzione invera della funzione
[math]f[/math]
, è il grafico simmetrico di
[math]f[/math]
rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Questa semplice definizione ci fa intuire anche una relazione tra le equazioni della funzione f e la sua inversa. Infatti basterà effettuare una semplice simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. In altri termini, basterà scambiare la x con la y nella funzione inversa. In modo pratico:
[math]f: y = f(x) \to f^{-1}: x = f(y)[/math]
. Tuttavia quest'ultima non è in forma esplicita perchè non è nella forma y = f(x). Allora, ove possibile, seguire questi semplici 2 passaggi per ottenere la forma esplicita della funzione inversa:
prendiamo come esempio la funzione f(x) = 2x-1
1. consideriamo y = f(x): y = 2x-1
ora sostituiamo la x con la y: x = 2y-1
2. risolviamo rispetto a y e otteniamo dopo una semplicissima serie di calcoli
[math]y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}[/math]
. Ovvero la funzione inversa di f(x).
.
Guardiamo adesso invece la definizione di funzione composta e analizziamo.
Date due funzioni
[math]f[/math]
e
[math]g[/math]
si dice funzione composta di f e g, e viene indicata con il simbolo
[math]g \circ f[/math]
(g composto f) la funzione definita da:
[math](g \circ f)(x) = g(f(x))[/math]
Facciamo un esempio e vediamo come trovare una funzione composta a partire delle due funzioni separate.
Date le funzioni
[math]f(x) = x^2[/math]
e
[math]g(x) = x-2[/math]
determina l'espressione di
[math]g \circ f e f \circ g[/math]
Dunque abbiamo che:
[math](g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2-2[/math]
.
Cosa ho fatto? Ho prima di tutto scritto la funzione composta nella forma della definizione. Ho poi sostituito ad f(x) il valore di f(x) ed ho poi sostituito ala x della funzione g(x) il valore della nuova funzione g(x^2). Capiamolo meglio con f composto g.
[math](f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x-2) = (x-2)^2[/math]
.
Possiamo notare inoltre che in generale
[math]f \circ g \ne g \circ f[/math]
anche se esistono dei casi in le 2 espressioni analitiche coincidono.
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