Trasformazioni del piano. Applicazioni. Valore assoluto. Funzioni quadratiche. Funzioni omografiche

Proprietà del valore assoluto

Informazioni per capire alcuni passaggi di argomenti successivi.

|xy| = |x| · |y| con x,y R

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli.

|x²| = |x|² = x²

|x³| = |x|³

|xⁿ| = |x|ⁿ

|x^2m| = |x|^2m = x^2m

Per quanto riguarda le somme, la relazione |x + y| = |x| + |y| non è valida.

Questo lo si può subito verificare con un esempio numerico:

|10 + (-3)| = |10| + |-3|

|7| = |13|

Per la somma, è vera la seguente relazione:

|x + y| <= |x| + |y|

Disuguaglianza triangolare

Verifichiamo dapprima queste disuguaglianze:

-|x| <= x <= |x|

-|y| <= y <= |y|

-(|x|+|y|) <= x+y <= |x|+|y|

per dimostrare |x+y| <= |x|+|y|

Vediamo es. numerico

-3 <= e <= 3 ; |e| <= 3

e quindi, dunque, è chiaro che:

|x+y| <= |x|+|y|

Effetto delle trasformazioni del piano sul grafico della funzione y=|x|

y=|x|

Applico le traslazioni

X = x+p

Y = y

y=|x-p|

X = x

Y = y+q

y=|x|+q

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Applico le dilatazioni

{ x = xy = uy }    u > 0

y = u|x|

{ x = uxy = y }

y = |x/u| = |1/u| |x| = |x| (1/u)

Essendo 1/u positiva posso togliere il modulo.

L'effetto è lo stesso che nelle dilatazioni precedenti: modifica il coefficiente angolare.

Doppia trasformazione: dilatazione + traslazione

y = |x|    (x, y) -> (x', y') -> (X, Y)

DILATAZIONE    { x' = xy' = uy }

TRASLAZIONE    { X = x' + pY = y' + q }

y = u|X - p| = |uX - up|

In generale possiamo scrivere:

y = |aX + b|

Ci poniamo ora il problema inverso:

y = |ax + b|;   y = |a(x + b/a)|

y = |a| |x + b/a|;   y/|a| = |x + b/a|

Confrontando l'equazione finale con y = |x| giungiamo ad una dilatazione che interessa la variabile y ed una traslazione che interessa la variabile x:

X = x + b/a    TRASLAZIONE

Y = |a|y    DILATAZIONE

esempio numerico

y = |2x - 5|;   y = |2(x - 5/2)| = 2|x - 5/2|

y/2 = |x - 5/2|

Y = 2y    DILATAZIONE

X = x + 5/2    TRASLAZIONE

y = |x|

y/2 = |x|

y = 2|x|    DILATAZ.

y = 2|x - 5/2|    TRASLAZ.

Effetto delle trasformazioni nel piano sulla parabola

y = x²

x' = x + p

y' = y + q

y - q = (x - p)²

y = x² - 2px + p² + q

Dal punto di vista geometrico otteniamo

(p,q)

x = p (asse della parabola)

Quindi si tratta dell'equazione della parabola che ha vertice in (p,q) e l'asse di simmetria della parabola è x = p.

Problema inverso: come ottenere il grafico della funzione y = x² + bx + c con operazioni di traslazione, cioè riuscire a scriverla nella forma

y - q = (x - p)²

y = x² + bx + c;

y = (x + b/2)² + c - b²/4

p = -b/2, q = -b²/4 + c = (-b² + 4c)/4

Si può quindi dire che y = x² + bx + c è l'equazione di parabole con vertice -b/2 e (-b² + 4c)/4 ottenuta dalla y = x²

mediante operazioni di traslazione - traslazione nella direzione dell'asse delle ascisse del valore di -b/2 e nella direzione delle ordinate del valore (-b² + 4c)/4 -

Esempio numerico:

y = x² - 8x + 12 = (x - 4)² - 16 + 12 =

= y = (x - 4)² - 4

Effetto delle dilatazioni sulla parabola

x = mx

y = ny

y = x² → y = n/m² x²

Si ottiene l'equazione di una parabola con vertice in O ed asse di simmetria in y il cui valore numerico n/m² determina la larghezza della parabola.

Se applichiamo simmetrie:

Rispetto agli assi la parabola viene mutata in se stessa. y = x² è una funzione pari.

Rispetto all'asse delle x

Rispetto all'origine

Affinità + traslazione

Affinità: { x = uxy = uy

y = x² ⇒ y = ^u⁄_u²x²

Traslazione: { x = x + py = y + q

y = ^u⁄_u²(x - p)² + q

Problema inverso: vogliamo riconoscere se è possibile scrivere y = ax² + bx + c nella forma y = ^a⁄_u²(x - p)² + q

y = ax² + bx + c = a(x² + ^b⁄_ax) + c

y = a((x + ^b⁄_2a)² - ^b2⁄_4a²) + c

Ottengo: u/w² = e

p = -b/2a     q = c - b²/4a = (4ac - b²)/4a

Queste equazioni non determinano in maniera univoca il valore di "a". Quindi si può scegliere a = 1 quindi (a = 1)

Esempio numerico: y = -4x² + 16x - 12 == -4(x² - 4x) - 12

y = -4[(x - 2)² - 4] = -4(x - 2)² + 4    parabola

Funzione omografica e sia negativa con l'iperbole

y = 1/x    dom f = R \ {0};   Im f = R \ {0}

Asintoti: essi coincidenti

Trasformiamo curve con operatori di affinità e traslazioni, in modo che questo grafico descrive il grafico di un generico particolare

y = (ax + b) / (cx + d)    a, b, c, d (numeri reali)

c.d.; (ax + b) e (cx + d) non multipli fra loro quindi ad - bc 0

Poiché la nostra funzione è definita in

R \ { -d/c }

Iperbole [ y = m/x ]: iperbole equilatera con asintoti gli assi coordinati.

Traslazione y - q = 1/(x - p) -> y = 1/(x - p) + q

Combinando i due effetti ottengo:

y = m/(x - p) + q

TRASLAZIONE ORIZZONTALE

Esempio numerico,

y = (6x + 4)/(3x + 5)

Vedere se una espressione di questo tipo si può essere riscritta nella maniera y = m/(x - p) + q

y = ^{6x + 4}/_{3x + 5} = 2 − ⁶/_{3x + 5} = 2 − ⁶/_{3(x + ⁵/3)} = 2 − ²/_{x + ⁵/3}

m = −2   (w = −2)

p = −⁵/₃

q = 2