Come svolgere correttamente le equazioni di secondo grado

In quest'appunto di matematica troverai tutte le informazioni necessarie per svolgere correttamente le equazioni di secondo grado e per individuare la tipologia di soluzione osservando il valore del discriminante. Sono presenti esempi svolti e spiegati.

Cos'è e come si riconosce un'equazione di secondo grado

Dati i parametri

Quest'uguaglianza è soddisfatta se sostituiamo al valore delle incognite quello delle radici, ossia delle soluzioni dell'equazione. In particolare le radici sono

Nelle equazioni di secondo grado, è possibile valutare la caratteristiche delle radici osservando il valore del discriminante, quindi ancor prima di ricavare le soluzioni.

Definendo come discriminante dell'equazione la quantità

da cui si evince che:

• se
  [math]\Delta > 0[/math]
  la due radici non sono reali (bensì risultano complesse coniugate). Questo è il caso, ad esempio, dell'equazione
  [math]2x^2+x+4=0[/math]
  , in cui le radici presentano uguale parte reale e parte complessa - esprimibile attraverso l'unita immnaginaria
  [math]i[/math]
  - opposta
• se
  [math]\Delta = 0\\[/math]
  le due radici sono reali e coincidenti, ossia esiste un'unica radice reale (
  [math]x_1=x_2[/math]
  ). Questo è il caso di
  [math]x^2+8x+4[/math]
  .
• se
  [math]\Delta > 0\\[/math]
  le due radici sono reali e distinte, come ad esempio nel caso dell'equazione
  [math]3x^2+4-10=0[/math]

I casi particolari delle equazioni di 2 grado

Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni spurie

E' evidente che questa sotto categoria presenti un notevole vantaggio in termini di calcoli. Infatti si ha che:

Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni pure

Si definiscono pure le equazioni di secondo grado con

E' evidente che anche in quest'altro caso i conti si semplificano notevolmente. In particolare, si ha che:

ove si possono presentare due sotto casi da discutere:

• se
  [math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]
  l'equazione non presenta soluzioni reali. Ciò accade perchè, essendo 2 un numero pari, non esiste alcun numero che elevato alla seconda possa restituire come risultato un numero reale negativo.
• se
  [math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]
  l'equazione presenta due soluzioni reali e distinte, in quanto essendo 2 un esponente pari, tale risultato può essere ottenuto sia partendo da una base positiva che da una base negativa. In questo caso, quindi:
  [math]x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]

Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni monomie

Questo è allo stesso tempo il caso più banale e meno interessante, in quanto le soluzioni sono reali e coincidenti a zero:

Esercizi sul discriminante delle equazioni di secondo grado

• [math]x^2+6x+9=0[/math]
• [math]4x^2-8x+9=0[/math]
• [math]2x^2+2x-4=0[/math]

Svolgimento degli esercizi

Per quanto riguarda invece l'equazione

L'ultima equazione è invece

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua