In quest'appunto di matematica troverai tutte le informazioni necessarie per svolgere correttamente le equazioni di secondo grado e per individuare la tipologia di soluzione osservando il valore del discriminante. Sono presenti esempi svolti e spiegati.

Indice
- Cos'è e come si riconosce un'equazione di secondo grado
- I casi particolari delle equazioni di 2 grado
- Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni spurie
- Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni pure
- Esercizi sul discriminante delle equazioni di secondo grado
- Svolgimento degli esercizi
Cos'è e come si riconosce un'equazione di secondo grado
Un'equazione è, in generale, una relazione di uguaglianza in cui compaiono una o più incognite. Nel caso delle equazioni di secondo grado, è presente un'unica incognita - solitamente indicata con la letteraDati i parametri
Quest'uguaglianza è soddisfatta se sostituiamo al valore delle incognite quello delle radici, ossia delle soluzioni dell'equazione. In particolare le radici sono
Nelle equazioni di secondo grado, è possibile valutare la caratteristiche delle radici osservando il valore del discriminante, quindi ancor prima di ricavare le soluzioni.
Definendo come discriminante dell'equazione la quantità
da cui si evince che:
- se [math]\Delta > 0[/math]la due radici non sono reali (bensì risultano complesse coniugate). Questo è il caso, ad esempio, dell'equazione[math]2x^2+x+4=0[/math], in cui le radici presentano uguale parte reale e parte complessa - esprimibile attraverso l'unita immnaginaria[math]i[/math]- opposta
- se [math]\Delta = 0\\[/math]le due radici sono reali e coincidenti, ossia esiste un'unica radice reale ([math]x_1=x_2[/math]). Questo è il caso di[math]x^2+8x+4[/math].
- se [math]\Delta > 0\\[/math]le due radici sono reali e distinte, come ad esempio nel caso dell'equazione[math]3x^2+4-10=0[/math]
I casi particolari delle equazioni di 2 grado
Fino a questo punto abbiamo considerato delle equazioni di secondo grado in cui tutti i coefficienti risultano diversi da 0. Tuttavia, questa condizione può venire meno in alcuni casi: ecco alcuni esempi.
Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni spurie
Si definiscono spurie le equazioni di secondo grado con
E' evidente che questa sotto categoria presenti un notevole vantaggio in termini di calcoli. Infatti si ha che:
Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni pure
Si definiscono pure le equazioni di secondo grado con
E' evidente che anche in quest'altro caso i conti si semplificano notevolmente. In particolare, si ha che:
ove si possono presentare due sotto casi da discutere:
- se [math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]l'equazione non presenta soluzioni reali. Ciò accade perchè, essendo 2 un numero pari, non esiste alcun numero che elevato alla seconda possa restituire come risultato un numero reale negativo.
- se [math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]l'equazione presenta due soluzioni reali e distinte, in quanto essendo 2 un esponente pari, tale risultato può essere ottenuto sia partendo da una base positiva che da una base negativa. In questo caso, quindi:[math]x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]
Casi particolari delle equazioni di 2 grado: le equazioni monomie
Si definiscono monomie le equazioni di secondo grado con
Questo è allo stesso tempo il caso più banale e meno interessante, in quanto le soluzioni sono reali e coincidenti a zero:
Esercizi sul discriminante delle equazioni di secondo grado
Calcola il discriminante delle seguenti equazioni e definisci la tipologia di radici:- [math]x^2+6x+9=0[/math]
- [math]4x^2-8x+9=0[/math]
- [math]2x^2+2x-4=0[/math]
Svolgimento degli esercizi
Partiamo dalla prima equazione, ossiaPer quanto riguarda invece l'equazione
L'ultima equazione è invece
Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua