di Definizione
Dati i parametri
[math]a,\,b,\,c \in \mathbb{R}[/math]
e posto [math]a\ne 0\\[/math]
, un'equazione di secondo grado è del tipo
[math]a\,x^2 + b\,x + c = 0\\[/math]
le cui radici
[math]x_1[/math]
ed [math]x_2\\[/math]
sono tali per cui
[math]x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}\,, \; \; \; \; x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}\,.[/math]
Definendo come discriminante dell'equazione la quantità
[math]\Delta := b^2 - 4\,a\,c\\[/math]
le due radici possono essere calcolate comodamente applicando la celebre formula
[math]x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}\\[/math]
da cui si evince che
i) se
[math]\Delta < 0[/math]
la due radici non sono reali (bensì risultano complesse coniugate); ii) se
[math]\Delta = 0\\[/math]
le due radici sono reali e coincidenti; iii) se
[math]\Delta > 0\\[/math]
le due radici sono reali e distinte.
Casi particolari
1. Equazioni di secondo grado spurie
Si definiscono spurie le equazioni di secondo grado con
[math]c = 0\\[/math]
:
[math]a\,x^2 + b\,x = 0 \; .[/math]
E' evidente che questa sotto categoria presenti un notevole vantaggio in termini di calcoli. Infatti:
[math]a\,x^2 + b\,x = 0 \; \Leftrightarrow \; x\left(a\,x + b\right) = 0 \; \Leftrightarrow \; x_1 = 0 \, \vee \, x_2 = - \frac{b}{a} \; .[/math]
2. Equazioni di secondo grado pure
Si definiscono pure le equazioni di secondo grado con
[math]b = 0\\[/math]
:
[math]a\,x^2 + c = 0 \; .[/math]
E' evidente che anche in quest'altro caso i conti si semplificano. In particolare, si ha:
[math]a\,x^2 + c = 0 \; \Leftrightarrow \; x^2 = - \frac{c}{b}[/math]
ove si possono presentare due sotto casi da discutere:
i) se
[math]-\frac{c}{a} < 0\\[/math]
l'equazione non presenta soluzioni reali;ii) se
[math]-\frac{c}{a} > 0\\[/math]
l'equazione presenta due soluzioni reali e distinte: [math]x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]
.
3. Equazioni di secondo grado monomie
Si definiscono monomie le equazioni di secondo grado con
[math]b = c = 0\\[/math]
:
[math]a\,x^2 = 0 \; .[/math]
Questo è allo stesso tempo il caso più banale e meno interessante, in quanto le soluzioni sono reali e coincidenti a zero:
[math]x_{1,2} = 0\;.[/math]
