Risoluzione di una disequazione con cos(2x) e cos(x)

In questo appunto viene spiegata la risoluzione della disequazione differenziale cos(2x)+cos(x) Per comprendere meglio tale risoluzione viene proposto un breve ripasso sulle caratteristiche della funzione goniometrica coseno e su alcune sue relazioni.

Funzione coseno:

Disegniamo una circonferenza goniometrica nel piano x,y (ricordiamo che la circonferenza goniometrica ha la caratteristica di avere il raggio unitario e ha centro nell’origine degli assi).
Il coseno è una funzione goniometrica che, noto un angolo, ci permette di trovare la lunghezza dell’ascissa del punto che viene individuato sulla circonferenza goniometrica.
Consideriamo ad esempio l’angolo α=45°, tracciamo nel piano cartesiano la semiretta che passa per l’origine e che forma un angolo di 45° con l’asse delle ascisse, tale semiretta interseca la circonferenza in un punto. Tale punto sarà caratterizzato da un’ascissa pari a:

La funzione coseno ci da informazioni quindi sull’ascissa di un punto.
Consideriamo ora alcuni angoli e punti particolari sulla circonferenza goniometrica:

• Angolo=0°: tale angolo individua nella circonferenza goniometrica un punto che è posizionato sull’asse x, perciò la distanza dal centro è pari al raggio della circonferenza goniometrica che abbiamo detto avere un valore unitario:
  
  [math]cos(0°)=1[/math]
• Angolo=30°: tale angolo individua sulla circonferenza goniometrica un punto che avrà un’ascissa pari a:
  
  [math]cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]
• Angolo=45°: tale angolo individua sulla circonferenza goniometrica un punto che abbiamo visto avere un’ascissa pari a:
  [math]cos(45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]
• Angolo=60°: tale angolo individua sulla circonferenza goniometrica un punto che avrà un’ascissa pari a:
  
  [math]cos(60°)=\frac{1}{2}[/math]
• Angolo=90°: tale angolo individua nella circonferenza goniometrica un punto che è posizionato sull’asse y, perciò tale angolo ha un valore dell’ascissa nullo (non ha nessuna componente x) perciò:
  [math]cos(90°)=0[/math]

Se ora continuiamo ad aumentare l’angolo e calcoliamo i valori della funzione coseno possiamo notare che i valori si ripetono ma cambiando di segno.
Gli angoli che individuano punti nel primo e nel secondo quadrante che sono simmetrici rispetto all’asse y danno valori di ascissa uguali ma opposti di segno; questo può essere scritto attraverso la seguente relazione matematica:

Le funzioni che possiedono questa caratteristica si dicono dispari, perciò la funzione coseno è una funzione dispari.

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni seno e coseno vedi anche qua

Formule del coseno:

Esistono alcune formule che permettono di esprimere il coseno di un angolo (2x) in funzione dell’angolo x, tali formule sono dette formule di duplicazione.
Per il coseno la formula di duplicazione risulta essere:

Ricordiamo anche una seconda formula molto importante quando si considerano le funzioni goniometriche:

È necessario fare molta attenzione ai segni perché quest’ultima formula differisce dalla prima solo per un segno e come si può notare i risultati delle due sono molto diversi.
Tale formula è dovuta al fatto che la circonferenza goniometrica ha raggio unitario perciò i punti che stanno sulla circonferenza goniometrica avranno una distanza unitaria dall’origine, se si utilizza la formula per la distanza tra due punti o se si utilizza il Teorema di Pitagora si può facilmente risalire all’equazione goniometrica.

Risoluzione della disequazione goniometrica:

Consideriamo la disequazione goniometrica riportata in seguito:

Le funzioni presenti nella disequazione sono funzioni coseno però una è riferita a un angolo 2x mentre l’altra è riferita ad un angolo x.
I due angoli sono uno il doppio dell’altro, perciò per risolvere la disequazione è utile riscrivere la disequazione in modo che compaia lo stesso angolo; per fare ciò utilizziamo la formula di duplicazione del coseno vista in precedenza:

Se utilizziamo solo questa relazione otteniamo una disequazione che presenta funzioni relative allo stesso angolo ma tali funzioni sono diverse (una è un coseno mentre l’altra è un seno) perciò conviene provare a riscrivere la disequazione in modo che presenta una sola funzione goniometrica.

Per fare ciò utilizziamo la relazione tra i quadrati di seno e coseno:

Da tale relazione possiamo esplicitare la funzione seno:

E possiamo introdurla nella formula di duplicazione ottenendo:

Utilizzando tale relazione possiamo riscrivere la disequazione in questo modo:

Tale disequazione è una disequazione di secondo grado che può essere risolta trovando le due soluzioni che risolvono la corrispondente equazione (

) e studiando i segni.

Per semplicità possiamo porre

Risolviamo ora tale equazione di secondo grado e otteniamo:

La disequazione di partenza in forma normale aveva il segno minore perciò tale disequazione è risolta per valori interni rispetto ai valori che sono stati ottenuti risolvendo l’equazione associata, perciò:

Questo passaggio può essere eseguito anche con un secondo modo il quale prevede di studiare il segno di entrambi i valori ottenuti; si pone:

Ricordiamo che per studiare il segno è sempre necessario porre tutti i termini maggiori di zero indipendentemente dal senso della disuguaglianza di partenza.
Studiando il segno delle due disuguaglianze si vede che valori compresi tra -1 e

danno valori complessivi negativi.

Ora si può sostituire la funzione coseno al posto della variabile t (t=cos(x)) e si ottiene:

Troviamo ora i valori per i quali il coseno vale -1 e

:

Perciò gli angoli che definiscono gli estremi sono 180° che in radianti equivale a π e 60° che in radianti equivale a

.

Quindi la disequazione è risolta per i seguenti valori:

con

L’aggiunta di 2Kπ è dovuta al fatto che se sommiamo un interno giro (in radianti corrisponde a π) a un angolo otteniamo un angolo che si trova nella stessa posizione di quello precedente perciò la disequazione è soddisfatta anche per tutti i valori a cui viene sommato un numero intero k di giri.

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado vedi anche qua