Distanza tra due punti in un piano cartesiano

Sia dato un piano cartesiano dove vi è disegnato un segmento

[math]AB[/math]
posto parallelamente all'asse delle
[math]y[/math]


Gli estremi del segmento

[math]AB[/math]
abbiano coordinate


[math]A=(-4;5),\ \ B=(-4;-3)[/math]


Chiamiamo le coordinate di ogni punto in questo modo:

A=(-4;5) -->

[math](x_{a};y_{a})[/math]


B=(-4;-3) -->

[math](x_{b};y_{b})[/math]


Essendo il segmento

[math]AB[/math]
parallelo all'asse delle
[math]y[/math]


allora quando andremo a calcolare, consideriamo solo i punti che

sono in coordinate

[math](y_{a};y_{b})[/math]
e le sottraiamo.


Logicamente andiamo a sottrarre la coordinata

[math]y_{b}[/math]


alla coordinata

[math]y_{a}[/math]


Quindi otteniamo:

[math]AB=\ |y_{a}-y_{b}|=\ |5-(-3)|cm=\ |5+3|cm=\ 8cm[/math]

Ora consideriamo un altro esempio:

Il segmento

[math]CD[/math]
questa volta,sarà parallelo all'asse delle
[math]x[/math]


Consideriamo le coordinate degli estremi:

[math]C=(-4;4)\ \ D=(5;4)[/math]


Chiamiamo le coordinate di ogni punto in questo modo:

C=(-4;4) -->

[math](x_{c};y_{c})[/math]


D=(5;4) -->

[math](x_{d};y_{d})[/math]


Essendo il segmento

[math]CD[/math]
parallelo all'asse delle
[math]x[/math]
andiamo


a considerare solo le coordinate in

[math]x[/math]
ossia:
[math](x_{c};x_{d})[/math]


In questo caso:

il punto

[math]D[/math]
si trova "più a destra" del punto
[math]C[/math]


Quindi bisogna sottrarre dalla coordinata

[math]x_{d}[/math]
la coordinata


[math]x_{c}[/math]


Dunque, andiamo a calcolare la misura del segmento

[math]CD[/math]

[math]CD=\ |x_{d}-x_{c}|=\ |5-(-4)|cm=\ |5+4|cm=\ 9cm[/math]


Andiamo ad esaminare l'ultimo caso. In questo caso il segmento

[math]EF[/math]
sarà posto obliquamente al piano cartesiano.


Consideriamo le coordinate degli estremi:

[math]E=(-5;-4)\ \ F=(2;6)[/math]


Chiamiamo le coordinate di ogni punto in questo modo:

E=(-5;-4) -->

[math](x_{e};y_{e})[/math]


F=(2;6) -->

[math](x_{f};y_{f})[/math]


Essendo il segmento

[math]EF[/math]
obliquo rispetto sia


all'asse delle

[math]x[/math]
che all'asse delle
[math]y[/math]


per calcolare la distanza tra i due punti, e quindi la lunghezza del

segmento, dobbiamo applicare una formula che ci permetterà di

calcolare quest'ultimo.

In questo caso, dobbiamo considerare sia le coordinate

[math]x[/math]
sia


le coordinate

[math]y[/math]


Non è importante l'ordine in cui vengono sottratti, perchè saranno

elevate al quadrato.

[math]EF=\sqrt{(x_{e}-x_{f})^{2}+(y_{e}-y_{f})^{2}}=\sqrt{(|-5-2|)^{2}+(|-4-6|)^{2}}cm=[/math]


[math]=\sqrt{(|-7|)^{2}+(|-10|)^{2}}cm=\sqrt{|49|+|100|}cm=\sqrt{|149|}cm=±12,21cm[/math]


In definitiva, dall'analisi dei tre casi precedenti possiamo dedurre

le seguenti regole generali.

Detti

[math]A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)[/math]
i due punti di cui calcolare la

distanza si ha:

1) Se

[math]x_1=x_2[/math]
(punti su una retta parallela all'asse y)


[math]AB=|y_1-y_2|[/math]


2) Se

[math]y_1=y_2[/math]
(punti su una retta parallela all'asse x)


[math]AB=|x_1-x_2|[/math]


3) In generale


[math]AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\\[/math]


Punto medio di un segmento

Dati due punti di coordinate

[math]A(x_A,\,y_A)[/math]
e
[math]B(x_B,\,y_B)[/math]


il punto medio del segmento

[math]AB[/math]
ha banalmente coordinate:


[math]M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \; \frac{y_A + y_B}{2}\right)[/math]


Calcolare distanza tra due punti in un piano cartesiano utlizzando la calcolatrice scientifica Casio FX-991EX


Passaggio #1

Collochiamoci nel menù:

1 : Calculate

 foto di passaggio #1

 foto di tasti menu 1

Passaggio #2

Inseriamo utilizzando in modo opportuno il comando alpha la relazione per il calcolo della distanza:

 foto di passaggio #2

 foto di passaggio #2

 foto di operazione passaggio #2

 foto di passaggio #2

Passaggio #3

Digitiamo il comando CALC

 foto di Tasto CALC

E con il tasto cursore inseriamo i valori di A, B, C, D corrispondenti alle coordinate dei punti.

 foto di operazione passaggio #3

 foto di operazione passaggio #3

 foto di operazione passaggio #3

 foto di operazione passaggio #3

 foto di operazione passaggio #3

Passaggio #4

Digitando il comando

 foto di tasto uguale

otterremo la soluzione cercata.

 foto di operazione passaggio #4

Passaggio #5

Attraverso il comando:

 foto di tasto S D

potremo visualizzare la forma decimale.

 foto di operazione passaggio #5

Osserviamo che tale procedura è funzionale anche nel caso di punti su una retta parallela all'asse x o y.

Qui di seguito il procedimento completo:

 foto di procedimento completo

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