Distanza tra due punti in un piano cartesiano

Distanza tra due punti in un piano cartesiano

Sia dato un piano cartesiano dove vi è disegnato un segmento

[math]AB[/math]

posto parallelamente all'asse delle

[math]y[/math]

Gli estremi del segmento

[math]AB[/math]

abbiano coordinate

[math]A=(-4;5),\ \ B=(-4;-3)[/math]

Chiamiamo le coordinate di ogni punto in questo modo:

A=(-4;5) -->

[math](x_{a};y_{a})[/math]

B=(-4;-3) -->

[math](x_{b};y_{b})[/math]

Essendo il segmento

[math]AB[/math]

parallelo all'asse delle

[math]y[/math]

allora quando andremo a calcolare, consideriamo solo i punti che

sono in coordinate

[math](y_{a};y_{b})[/math]

e le sottraiamo.

Logicamente andiamo a sottrarre la coordinata

[math]y_{b}[/math]

alla coordinata

[math]y_{a}[/math]

Quindi otteniamo:

[math]AB=\ |y_{a}-y_{b}|=\ |5-(-3)|cm=\ |5+3|cm=\ 8cm[/math]

Ora consideriamo un altro esempio:

Il segmento

[math]CD[/math]

questa volta,sarà parallelo all'asse delle

[math]x[/math]

Consideriamo le coordinate degli estremi:

[math]C=(-4;4)\ \ D=(5;4)[/math]

Chiamiamo le coordinate di ogni punto in questo modo:

C=(-4;4) -->

[math](x_{c};y_{c})[/math]

D=(5;4) -->

[math](x_{d};y_{d})[/math]

Essendo il segmento

[math]CD[/math]

parallelo all'asse delle

[math]x[/math]

andiamo

a considerare solo le coordinate in

[math]x[/math]

ossia:

[math](x_{c};x_{d})[/math]

In questo caso:

il punto

[math]D[/math]

si trova "più a destra" del punto

[math]C[/math]

Quindi bisogna sottrarre dalla coordinata

[math]x_{d}[/math]

la coordinata

[math]x_{c}[/math]

Dunque, andiamo a calcolare la misura del segmento

[math]CD[/math]

[math]CD=\ |x_{d}-x_{c}|=\ |5-(-4)|cm=\ |5+4|cm=\ 9cm[/math]

Andiamo ad esaminare l'ultimo caso. In questo caso il segmento

[math]EF[/math]

sarà posto obliquamente al piano cartesiano.

Consideriamo le coordinate degli estremi:

[math]E=(-5;-4)\ \ F=(2;6)[/math]

Chiamiamo le coordinate di ogni punto in questo modo:

E=(-5;-4) -->

[math](x_{e};y_{e})[/math]

F=(2;6) -->

[math](x_{f};y_{f})[/math]

Essendo il segmento

[math]EF[/math]

obliquo rispetto sia

all'asse delle

[math]x[/math]

che all'asse delle

[math]y[/math]

per calcolare la distanza tra i due punti, e quindi la lunghezza del

segmento, dobbiamo applicare una formula che ci permetterà di

calcolare quest'ultimo.

In questo caso, dobbiamo considerare sia le coordinate

[math]x[/math]

sia

le coordinate

[math]y[/math]

Non è importante l'ordine in cui vengono sottratti, perchè saranno

elevate al quadrato.

[math]EF=\sqrt{(x_{e}-x_{f})^{2}+(y_{e}-y_{f})^{2}}=\sqrt{(|-5-2|)^{2}+(|-4-6|)^{2}}cm=[/math]

[math]=\sqrt{(|-7|)^{2}+(|-10|)^{2}}cm=\sqrt{|49|+|100|}cm=\sqrt{|149|}cm=±12,21cm[/math]

In definitiva, dall'analisi dei tre casi precedenti possiamo dedurre

le seguenti regole generali.

Detti

[math]A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)[/math]

i due punti di cui calcolare la

distanza si ha:

1) Se

[math]x_1=x_2[/math]

(punti su una retta parallela all'asse y)

[math]AB=|y_1-y_2|[/math]

2) Se

[math]y_1=y_2[/math]

(punti su una retta parallela all'asse x)

[math]AB=|x_1-x_2|[/math]

3) In generale

[math]AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\\[/math]

Punto medio di un segmento

Dati due punti di coordinate

e

il punto medio del segmento

ha banalmente coordinate:

Calcolare distanza tra due punti in un piano cartesiano utlizzando la calcolatrice scientifica Casio FX-991EX

Passaggio #1

Collochiamoci nel menù:

1 : Calculate

Passaggio #2

Inseriamo utilizzando in modo opportuno il comando alpha la relazione per il calcolo della distanza:

Passaggio #3

Digitiamo il comando CALC

E con il tasto cursore inseriamo i valori di A, B, C, D corrispondenti alle coordinate dei punti.

Passaggio #4

Digitando il comando

otterremo la soluzione cercata.

Passaggio #5

Attraverso il comando:

potremo visualizzare la forma decimale.

Osserviamo che tale procedura è funzionale anche nel caso di punti su una retta parallela all'asse x o y.

Qui di seguito il procedimento completo:

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