Le equazioni di 2° grado si presentano nella forma
[math]ax^2 + bx + c = 0[/math]
dove
[math]a≠0[/math]
. Se
[math]b[/math]
e
[math]c[/math]
sono entrambi diversi da 0, l'equazione viene chiamata completa.
Un esempio è
[math]9x^22 - 6x + 1 = 0[/math]
; per risolverla utilizzo la seguente formula:
[math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/math]
Il
[math]\pm[/math]
sta a indicare la presenza di due soluzioni, infatti le equazioni di 2° grado hanno sempre due soluzioni.
Ciò significa che distinguerò due casi: uno in cui avrò
[math]x_{1,2}=\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/math]
, l'altro in cui avrò
[math]x_{1,2}=\frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/math]
. Attenzione! Entrambe le soluzioni sono giuste! Fatto ciò posso scomporre il polinomio con la formula:
[math]ax^2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2).[/math]
Viene definito delta il radicando
[math]\Delta=b2 - 4ac[/math]
; se:
-
[math]\Delta>0[/math]
significa che quell'equazione ha due soluzioni distinte;
-
[math]\Delta=0[/math]
le due soluzioni coincidono, quindi ce n'è una sola;
-
[math]\Delta l'equazione è impossibile, in quanto non esiste (nei
numeri reali) la radice quadrata di un numero negativo.
Solitamente il calcolo del delta viene eseguito prima di risolvere l'equazione per capire se avrò due soluzioni distinte, due che coincidono o nessuna soluzione possibile.
Se
[math]b[/math]
è pari posso utilizzare un'altra formula, chiamata ridotta, che semplifica un po' i calcoli. Questa formula è la seguente:
[math]x_{1,2}=\frac{-b/2\pm\sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}[/math]
Nell'equazione precedente posso applicare la formula ridotta, ma, anche se uso quella intera, avrò gli stessi risultati.
Se la
[math]x[/math]
di secondo grado ha coefficiente 1, consiglio di utilizzare la formula del trinomio notevole per scomporre il polinomio, poi utilizzare la legge dell'annullamento del prodotto che consiste nell'imporre che uno o entrambi i fattori siano uguali a 0; la formula è la seguente:
[math]x^2 + Sx + P = (x + a) (x + b)[/math]
dove
[math]S = a + b \qquad P = a b[/math]
Vediamone una:
[math]x^2 - 7x + 10 = 0[/math]
Devo trovare due numeri che moltiplicati mi diano +10 e sommati mi diano -7. Questi due numeri sono -5 e -2. Allora scompongo il polinomio ottenendo, secondo la formula:
[math](x - 2) (x - 5) = 0[/math]
Fatto ciò applico la legge dell'annullamento del prodotto, così avrò:
[math]x - 2 = 0[/math]
, quindi
[math]x = 2[/math]
[math]x - 5 = 0[/math]
, quindi
[math]x = 5[/math]
Le soluzioni sono
[math]x = 2\ \vee\ x = 5[/math]
.
Molte volte, dei polinomi appaiono di 2° o 3° grado, ma in realtà non lo sono, quindi bisogna sempre tenere a mente i prodotti notevoli, che ora ricordiamo:
[math]a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)[/math]
DIFFERENZA DI QUADRATI
[math]a^22 + 2ab + b^22 = (a + b)^2 [/math]
QUADRATO DEL BINOMIO
[math]a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)^2[/math]
QUADRATO DEL TRINOMIO
[math]a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3 [/math]
CUBO DEL BINOMIO
[math]a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)[/math]
SOMMA DI CUBI
[math]a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2) [/math]
DIFFERENZA DI CUBI
Per ultima cosa, ricordo che il secondo fattore descritto sopra nella somma e differenza di cubi non si può MAI scomporre, con qualsiasi metodo utilizzato.
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