Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x=0 fino al secondo ordine: f(x)=e^x log(1+x) cos(x)

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Per risolvere lesercizio, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni esponenziale, coseno e logaritmo; ricordiamo che le funzioni hanno i seguenti sviluppi:

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \dots + \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]

[math] \log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + + (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]

[math] \cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} - + \frac{(-1)^n z^{2n}}{{2n}!} + o(z^{2n}) [/math]

Poiché è richiesto uno sviluppo al secondo ordine della funzione

[math]f(x)[/math]

, e dato che essa è data dal prodotto delle funzioni esponenziale, logaritmo e coseno, sarà suffciente sviluppare tali funzioni nel modo seguente: la funzione esponenziale può essere sviluppata al primo ordine:

[math] e^z = 1 + x + o(x) [/math]

mentre le funzioni coseno e logaritmo entrambe al secondo ordine:

[math] \log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) [/math]

[math] \cos(z) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) [/math]

In questo modo otterremo uno sviluppo della funzione di partenza al secondo ordine; procediamo con i prodotti:

[math] f(x) = e^x \log(1+x) \cos(x) = (1 + x + o(x)) \cdot (x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) \cdot (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) [/math]

Per semplicità svolgiamo inizialmente il prodotto tra i primi due fattori:

[math] f(x) = ( x + x^2 + o(x^2) - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} + o(x^3) ) \cdot (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) [/math]

Come sappiamo, gli infinitesimi di ordine maggiore vengono inglobati da quelli di ordine minore, quindi in questo caso le potenze di 3 verranno inglobate all'interno di

[math]o(x^2)[/math]

[math] f(x) = ( x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) ) \cdot (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) [/math]

Procediamo quindi con il secondo prodotto:

[math] f(x) = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3) + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + o(x^4) + o(x^2) [/math]

Applicando lo stesso ragionamento visto in precedenza, possiamo ottenere il risultato finale:

[math] f(x) = x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x=0 fino al secondo ordine: f(x)=e^x log(1+x) cos(x)

Per risolvere l'esercizio, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni esponenziale, coseno e logaritmo

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