Calcolare
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{x (\\cos(x) - e^{x^2})}[/math]
Il limite si può riscrivere in questa forma
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{\text{tg}^3(x)} \frac{\text{tg}^3(x)}{x} \frac{1}{\\cos(x) - e^{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{\text{tg}^3(x)} \frac{\text{tg}^3(x)}{x^3} \frac{x^2}{\\cos(x) - e^{x^2}}[/math]
Ricordando gli sviluppi di Taylor del coseno e dell'esponenziale:
[math]e^{t} = 1 + t + \frac{t^2}{2} + o(t^2)[/math]
[math]\\cos(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^3)[/math]
il limite diventa
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{\text{tg}^3(x)} \frac{\text{tg}^3(x)}{x^3} \frac{x^2}{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) - 1 - x^2 + o(x^3) } = [/math]
[math] = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{\text{tg}^3(x)} \frac{\text{tg}^3(x)}{x^3} \frac{x^2}{ - \frac{3}{2} x^2 + o(x^3) } = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{\text{tg}^3(x)} \frac{\text{tg}^3(x)}{x^3} \frac{1}{ - \frac{3}{2} + o(x)}[/math]
Ricordando i limiti notevoli
[math]\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1[/math]
[math]\lim_{t \to 0} \frac{\text{tg}(t)}{t} = 1[/math]
e osservando che per
[math]x \to 0[/math]
risulta [math]\text{tg}(x) \to 0[/math]
e [math]o(x) \to 0[/math]
si ottiene
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}^3(x)} - 1}{\text{tg}^3(x)} \frac{\text{tg}^3(x)}{x^3} \frac{1}{ - \frac{3}{2} + o(x)} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{2}{3}) = - \frac{2}{3}[/math]
FINE
![Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to{0}}}{\left(\frac{{{e}^{{{x}\cdot \ln{{x}}}}- \cos{{x}}}}{{{ \ln{{x}}^{2}-}{a}{r}{c}{t}{g}{x}}}\right)}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/images/stories/esercizi/lim1618.jpg)
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