Formule di Addizione, Sottrazione, Duplicazione e Bisezione

In questo appunto di matematica si affrontano le formule di trigonometria di sottrazione, addizione, duplicazione e bisezione con relative dimostrazioni.

Funzioni seno e coseno

Si consideri in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la circonferenza goniometrica di raggio R = 1 e centro coincidente con l’origine O di tale sistema di riferimento. Si fissi nel primo quadrante il punto P che individua un angolo , chiameremo funzione seno e funzione coseno dell’angolo e le seguenti due espressioni:




ossia le funzioni che ad associano rispettivamente il valore dell’ordinata e dell’ascissa del punto P.
Seno e coseno sono funzioni che hanno come campo di esistenza l’intero insieme dei numeri reali, R, poiché per ogni valore di ∈ R esiste uno ed un solo punto sulla circonferenza.
Le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche, il cui periodo è pari a 360°: tali funzioni dopo un angolo giro riassumono esattamente gli stessi valori.
In base alla definizione data si può osservare che i valori di seno e coseno assumono valori compresi fra -1 e +1 e la relazione fondamentale che lega questa due funzioni è data da:


La funzione tangente di si esprime come il quoziente fra seno e coseno:


tale funzione non esiste per valori nulli del coseno.

Formule di sottrazione

Facendo riferimento all’immagine allegata si considerino i punti:




)



Dove

• l’arco AN corrisponde all’angolo
  [math]
  \alpha
  [/math]



• l’arco AM corrisponde all’angolo
  [math]
  \beta
  [/math]



• l’arco Ab corrisponde all’angolo
  [math]
  \alpha - \beta
  [/math]



• l’arco MN corrisponde all’angolo
  [math]
  \alpha - \beta
  [/math]

I triangoli AOB ed MNO sono isometrici.
In base alle precedenti considerazioni si ha l’uguaglianza fra i segmenti AB ed MN:
AB = MN
ossia










per cui si ottiene che












da cui si ottiene che



La formula che abbiamo appena dimostrato, valida per e , risulta valida, ed è facilmente dimostrabile, anche per

• [math]
  0<\alpha<\beta;
  [/math]



• [math]
  \alpha>0 e \beta<0;
  [/math]



• [math]
  \alpha<0 e \beta<0
  [/math]

Per ottenere la formula di sottrazione del seno si ricorda che


Applicando alla precedente espressione la formula di sottrazione del coseno si ottiene che:


essendo




si ottiene che


Per ottenere la formula di sottrazione della tangente basta applicare la definizione:




Si dividono entrambi i membri di quest’ultima espressione per , avendo imposto




ossia




con h e k∈Z
e si ottiene:


ossia




Si noti che le formule di sottrazione per il seno ed il coseno sono valide per qualunque valore si assegni all’angolo, mentre per il valore della tangente si è dovuto imporre




con h e k∈Z.
Se




con h e k∈Z
pur non potendo calcolare con la formula appena dimostrata, se ne può trovare un valore, osservando che


quindi


Se invece




si ha che

Formule di addizione

Sfruttando le formule di sottrazione si ha che:










Ricordando che






si ottengono le seguenti espressioni






per quest’ultima espressione si deve imporre




con h e k∈Z.

Formule di duplicazione

Per la dimostrazione di tali formule si applicano le formule di addizione:






da cui con semplici passaggi si ricavano le formule riportate.
Le condizioni di esistenza della terza formula sono le seguenti:


con k∈Z.
Inoltre ricordando che




la formula di duplicazione per il coseno può essere scritta come segue:


oppure

Formule di bisezione

Noti i valori di , e , le formule di bisezione forniscono i valori del seno, del coseno e della tangente per .






A tali formule si arriva usando le formule di duplicazione per il coseno, infatti si ha che:




dalle quali si ricavano




dalle quali estraendo le radici si ottengono le formule di bisezione riportate sopra.
La formule della tangente si ricava di conseguenza.
Si noti che dei due segni posti davanti alla radice nelle formule di bisezione, se ne deve scegliere sempre uno solo e per la scelta ti tale segno si deve conoscere il quadrante in cui cade il secondo lato dell’angolo .

per ulteriori approfondimenti sulle formule trigonometriche vedi anche qua