Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x=0 fino al quinto ordine: f(x)=3x cos(2x)+6 log(1+x^3)

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Per risolvere l'esercizio, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni coseno e logaritmo; cominciamo dalla funzione coseno, che ha il seguente sviluppo:

[math] \cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} - + \frac{(-1)^n z^{2n}}{{2n}!} + o(z^{2n}) [/math]

In questo caso, poiché l'argomento del coseno è

[math]2x[/math]

, dobbiamo operare la sostituzione

[math] z = 2x[/math]

, tenendo presente che per

[math]x \to 0[/math]

si ha che

[math]2x = x[/math]

, e quindi

[math]o(z) = o(x)[/math]

; sapendo che il termine coseno è moltiplicato per un fattore x di primo grado, possiamo fermare lo sviluppo del coseno al grado 4:

[math] \cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} + o((2x)^{4}) [/math]

Moltiplicando per il fattore

[math]3x[/math]

si ottiene:

[math] 3x \cdot \cos(2x) = 3x [1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} + o((2x)^{4})] = [/math]

[math] 3x [1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{ 16 x^4}{24} + o(x^4)] = 3x [1 - 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + o(x^4)] = [/math]

[math] 3x - 6x^3 + 2 x^5 + o(x^5) [/math]

Applichiamo lo stesso ragionamento per la seconda parte della funzione, ricordando che lo sviluppo fondamentale della funzione logaritmica il seguente:

[math] \log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + + (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n} + o(z^n) [/math]

In questo caso occorre applicare la sostituzione

[math] z = x^3[/math]

, quindi, per raggiungere un quinto grado complessivo, sarà sufficiente fermare lo sviluppo della funzione logaritmo al secondo grado:

[math] \log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + o(z^2) [/math]

Applichiamo la sostituzione:

[math] \log(1+x^3) = x^3 - \frac{(x^3)^2}{2} + o((x^3)^2) = x^3 - \frac{x^6}{2} + o(x^6) [/math]

Ricordiamo che nella funzione il logaritmo era moltiplicato per un fattore:

[math] 6 \log(1+x^3) = 6 x^3 - 3 x^6 + o(x^6) [/math]

Possiamo procedere ora con lo sviluppo finale della funzione di partenza:

[math] f(x) = 3x \cos(2x) + 6 \log(1+x^3) = 3x - 6x^3 + 2 x^5 + o(x^5) + 6 x^3 - 3 x^6 + o(x^6) [/math]

Come sappiamo, gli infinitesimi di ordine maggiore vengono inglobati da quelli di ordine minore, quindi in questo caso le potenze di 6 verranno inglobate all'interno di

[math]o(x^5)[/math]

[math] f(x) = 3x - 6x^3 + 2 x^5 + o(x^5) + 6 x^3 = 3x + 2 x^5 + o(x^5) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x=0 fino al quinto ordine: f(x)=3x cos(2x)+6 log(1+x^3)

Per risolvere l'esercizio, possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni coseno e logaritmo

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