Indice
Definizione
Una trasformazione T si dice lineare se è del tipo:[math] \displaystyle T: \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 [/math]
[math] \displaystyle (x;y) \rightarrow (x';y') [/math]
[math] \displaystyle \begin{cases} x' = ax + by \\ y' = cx + dy \end{cases} [/math]
[math] \displaystyle A = \begin{pmatrix} a&b \\ b&c \end{pmatrix} [/math]
[math] \displaystyle T: \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 [/math]
[math] \displaystyle (x; y) \rightarrow (x+y; 2x-y) [/math]
[math] \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 2&-1 \end{pmatrix} [/math]
Proprietà
Vediamo ora alcune proprietà che caratterizzano le trasformazioni lineari:- Il punto O(0 ; 0) viene trasformato in se stesso, ed è quindi un punto unito;
- per ogni coppia di vettori [math] \vec{u} [/math]e[math] \vec{v} [/math]di[math]R^2[/math], indichiamo[math]T(u)[/math]e[math]T(v)[/math]i loro trasformati rispetto a[math]T[/math]; se[math]h[/math]e[math]k[/math]sono due numeri reali qualsiasi, abbiamo che:[math] \displaystyle T(h\vec{u}+k\vec{v} = hT(\vec{u}) + kT(\vec{v}) [/math]cioè, il trasformato di una combinazione lineare tra due vettori equivale alla combinazione lineare dei trasformati dei vettori stessi.
Operazioni
Nell'insieme delle trasformazioni di[math]R^2[/math]
in [math]R^2[/math]
, possiamo definire numerose operazioni di tipo algebrico; in particolare, le trasformazioni possono essere sommate tra loro, possono essere moltiplicate per un numero reale o tra loro. Somma di due trasformazioni Se [math]T[/math]
e [math]T'[/math]
sono due trasformazioni lineari di [math]R^2[/math]
in [math]R^2[/math]
, definiamo la loro somma [math]T + T'[/math]
la seguente trasformazione: [math] \displaystyle T+T': (x; y) \rightarrow T(x; y) + T'(x; y) [/math]
[math]T[/math]
sia la matrice [math]A[/math]
, e la matrice associata alla trasformazione [math]T'[/math]
sia la matrice [math]B[/math]
, e che siano così composte: [math] \displaystyle A = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} \ a_{2,1}&a_{2,2} \end{pmatrix} \, \, \, \, B = \begin{pmatrix} \end{pmatrix} [/math]
[math]T[/math]
e [math]T'[/math]
sono tali che: [math] \displaystyle T: (x;y) \rightarrow (a_{1,1}x+a_{1,2}y; a_{2,1}x+a_{2,2}y) [/math]
[math] \displaystyle T: (x;y) \rightarrow (b_{1,1}x+b_{1,2}y; b_{2,1}x+b_{2,2}y) [/math]
[math] \displaystyle T+T': (x;y) \rightarrow(a_{1,1}x+a_{1,2}y; a_{2,1}x+a_{2,2}y)+(b_{1,1}x+b_{1,2}y; b_{2,1}x+b_{2,2}y) [/math]
[math] \displaystyle A+B=\begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2} \\ a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2} + b_{2,2} \end{pmatrix} [/math]
- Proprietà associativa: [math] \displaystyle T+(T'+T'') = (T+T')+T'' [/math]
- Esistenza dell'elemento neutro: l'elemento neutro per la somma di trasformazioni lineari è la trasformazione [math]T_0[/math]che fa corrispondere ad ogni punto il vettore nullo, cioè:In questo caso, risulta essere nulla anche la matrice associata alla trasformazione; lelemento neutro per la somma di trasformazioni è tale che:[math] \displaystyle T_0: (x;y) \rightarrow (0;0) [/math][math] \displaystyle T_0 + T = T+T_0 = T [/math]
- Esistenza della trasformazione opposta: la trasformazione opposta di una trasformazione [math]T[/math]è la trasformazione[math]-T[/math], definita in questo modo:Possiamo affermare che, sommando una trasformazione con la sua opposta otteniamo la trasformazione nulla; in particolare, la matrice associata alla trasformazione opposta è la matrice opposta di quella associata alla trasformazione[math] \displaystyle -T: (x;y) \rightarrow -T(x;y) [/math][math]T[/math].
- Proprietà commutativa: possiamo sommare due trasformazioni non tenendo conto dell'ordine con cui lo facciamo: [math] \displaystyle T+T' = T'+T [/math]
Prodotto di una trasformazione per un numero reale
Definiamo il prodotto di un numero reale[math]k[/math]
per una trasformazione [math]T[/math]
la seguente trasformazione: [math] \displaystyle kT: (x;y) \rightarrow k \cdot [T(x;y)] [/math]
[math]A[/math]
è la matrice associata alla trasformazione [math]T[/math]
, la matrice associata alla trasformazione [math]kT[/math]
la matrice [math]kA[/math]
. Proprietà del prodotto- Proprietà distributiva rispetto alla somma di trasformazioni: [math] \displaystyle k(T+T') = kT+kT' [/math]
- Proprietà distributiva rispetto alla somma in [math]R[/math]:[math] \displaystyle (h+k) \cdot T = hT + kT [/math]
- Proprietà associativa: [math] \displaystyle h(kT) = (hk)t [/math]
Composizione o prodotto di trasformazioni
Il prodotto di due trasformazioni, o composizione,[math]T[/math]
e [math]T'[/math]
trasformazioni lineari, è la trasformazione che si ottiene applicando [math]T'[/math]
ad ogni punto [math]( \displaystyle x ; y )[/math]
, e successivamente [math]T[/math]
al punto [math]( \displaystyle x ; y )[/math]
ottenuto per risultato. Abbiamo quindi che: [math] \displaystyle [T\ast T'] (x;y) = T[T'(x;y)] [/math]
[math]A[/math]
e [math]A'[/math]
sono le matrici associate, rispettivamente a [math]T[/math]
e [math]T'[/math]
, la matrice associata : [math] A \ast A' [/math]
. [math] \displaystyle I = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} [/math]
[math] \displaystyle T \ast I = I \ast T = T [/math]
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