Indice
Dilatazioni e compressioni
Dilatazioni e compressioni lungo l'asse xUna dilatazione o compressione di rapporto k lungo l'asse x è un'affinità che presenta le seguenti equazioni:
[ D_{x,k} : \begin{cases} x' = kx \ y'=yend{cases} ,,,,,, k
e 0 ]
La matrice associata a una dilatazione o ad una compressione lungo l'asse x ha determinante uguale a k, ed è la seguente:
[ A = \begin{pmatrix} k &0 \ 0 &1 end{pmatrix} ,,, , ,,, mbox{det}(A) = k ]
In base al valore di k, possiamo distinguere diversi casi:
- se (| k | gt 1) si ha una dilatazione lungo l'asse x;
- se (| k | lt 1) si ha una compressione lungo l'asse x;
- se [math]k = 1[/math]si ha l'identità;
- se [math]k = -1[/math]si ha una simmetria rispetto all'asse y.
Se la dilatazione, o compressione, ha rapporto k, la trasformazione inversa ha rapporto 1/k:
[ D_{x,k}^{-1} = D_{x,frac{1}{k}} ]
In particolare, queste trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell'asse y e tutti i punti delle rette parallele all'asse x, che sono pertanto punti e rette uniti.
Dilatazioni e compressioni lungo l'asse y
Una dilatazione o compressione di rapporto k lungo l'asse y è un'affinità che presenta le seguenti equazioni:
[ D_{x,k}: \begin{cases} x'=x \ y'=ky end{cases} ,,, , ,,, k
e 0 ]
Anche la matrice associata a una dilatazione o ad una compressione lungo l'asse y ha determinante uguale a k, ed è la seguente:
[ A = \begin{pmatrix} 1&0 \ 0&k end{pmatrix} ,,, ,,,, mbox{det}(A) = k ]
In questo caso, se
si ha una simmetria rispetto all'asse x.
La trasformazione inversa di una compressione o dilatazione di rapporto k ha rapporto 1/k:
[ D_{y,k}^{-1} = D_{y,frac{1}{k}} ]
Tutti i punti dell'asse x sono punti uniti, e tutte le rette parallele all'asse y sono rette unite.
Esempio: Consideriamo la funzione ( y = \sin x).
Se apportiamo modifiche al coefficiente di x, otteniamo una dilatazione.
Infatti, la funzione (y = \sin (x/2) ) è una sinusoide con periodo maggiore rispetto a (y = \sin x).
Mentre, invece, se apportiamo modifiche alla y, cioè se modifichiamo il coefficiente di sen x, otteniamo una compressione.
Ad esempio, consideriamo la funzione (y = -1/2 \sin x); notiamo che essa risulta essere compressa rispetto a (y = \sin x); ha stesso periodo, ma ampiezza minore.
Inclinazioni
Inclinazioni lungo l'asse xSi definisce inclinazione lungo l'asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto ( x ; y ) del piano il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa incrementata proporzionalmente all'ordinata y.
Le equazioni di un'inclinazione lungo l'asse x sono le seguenti:
[ I_{x,k}: \begin{cases} x'=x+ky \ y'=y end{cases} ]
La matrice associata alle equazioni è la matrice A, che ha determinante uguale a 1:
[ A = \begin{pmatrix} 1 &k \ 0 &1 end{pmatrix} ,,, , ,,, mbox{det}(A) = 1 ]
Questo tipo di trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell'asse x e tutte le rette parallele all'asse x, che sono pertanto punti e rette unite.
Se la trasformazione ha coefficiente k, la sua inversa ha coefficiente - k:
[ I_{x,k}^{-1} = I_{x,-k} ]
Inclinazioni lungo l'asse y
Si definisce inclinazione lungo l'asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto ( x ; y ) del piano il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata incrementata proporzionalmente all'ascissa x.
Le equazioni di un'inclinazione lungo l'asse y sono le seguenti:
[ I_{y,k}: \begin{cases} x'=x \ y'=y+kx end{cases} ]
La matrice associata alle equazioni è la matrice A, che ha determinante uguale a 1:
[\begin{pmatrix} 1 &0 \ k &1 end{pmatrix} ,,, , ,,, mbox{det}(A) = 1 ]
Queste trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell'asse y e tutte le rette parallele all'asse y, che sono pertanto punti e rette unite.
Se la trasformazione ha coefficiente k, la sua inversa ha coefficiente - k, e si ha:
[ I_{y,k}^{-1} = I_{y,-k} ]
In entrambi i casi, poiché il determinante della matrice associata alle equazioni è uguale a 1, le inclinazioni trasformano una figura F in una figura F' ad essa equivalente.
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