Matrici simmetriche e associate

Sia Sn(R) = insieme delle matrici simmetriche reali di ordine n.
Teorema
Sia A una matrice simmetrica reale. Allora, esiste una matrice ortogonale E tale
che E^−1· A · E =t E · A · E `e una matrice diagonale.
Corollario
Tutti gli autovalori di una matrice simmetrica reale sono numeri reali e per ognunodi essi la molteplicità algebrica e geometrica coincidono.
Definizioni
φ : V × V → R, dove V `e uno spazio vettoriale reale si dice una forma bilineare
(reale) se ∀u, v,w ∈ V, ∀α ∈ R, si ha
(1) φ(u + v,w) = φ(u,w) + φ(v,w)
(2) φ(u, v + w) = φ(u, v) + φ(u,w)
(3) φ(αu, v) = φ(u, αv) = αφ(u, v)
φ si dice simmetrica se φ(u, v) = φ(v, u) ∀u, v ∈ R
q : V → R, si dice una forma quadratica (reale) se esiste una forma bilineare φ
tale che φ(u, u) = q(u) ∀u ∈ V.
La forma bilineare simmetrica Φ : V × V → R definita da
Φ(u, v) = 1/2[q(u + v) − q(u) − q(v)] si dice forma polare di q.
Matrici associate
Definizione
Data una forma quadratica q : V → R ed una base ordinata B = (e1, .

. . , en) di V, la matrice associata a q (o matrice di Gram di q) relativamente a B `e la
matrice A = (a;ij) ∈ Sn(R) tale che a;ij = Φ(ei,ej).
Proposizione
Sia q :V^n →R una forma quadratica, Φ la sua forma polare e sia A ∈ Sn(R) la
matrice associata a q relativamente alla base ordinata B.
Dati u, v ∈ V^n, siano (x) e (y) le colonne delle loro componenti rispetto a B.
Allora, si ha: Φ(u, v) =t(y)A(x) e q(u) =t(x)A(x)
Definizione
Due matrici A, A0 ∈ Sn(R) si dicono congruenti se esiste E ∈ GLn(R) tale che A0=t E · A · E
Osservazione: Matrici congruenti hanno lo stesso rango, che viene detto rango
della forma quadratica.
Proposizione
Due matrici simmetriche reali dello stesso ordine sono congruenti se e solo se sono associate alla stessa forma quadratica.