Affinità e trasformazioni

Nel seguente appunto verranno esplorate alcune definizioni relative alle trasformazioni del piano.

Affinità

Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra due piani o tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.

Un’affinità può essere descritta mediante un sistema, grazie al quale possiamo determinare, conoscendo le coordinate di un punto

, le coordinate del punto , ottenuto dalla trasformazione.

Consideriamo l’affinità

descritta in questo modo:

L’affinità

trasforma il punto , di coordinate , nel punto , di coordinate ; possiamo scrivere, quindi, .

Le coordinate del nuovo punto P’ possono essere determinate mediante le seguenti formule, che descrivono l’affinità:

dove la matrice dei coefficienti delle equazioni ha determinante diverso da zero:

Dalle formule precedenti, possiamo dedurre che un punto

viene trasformato in un punto le cui coordinate sono . Possiamo, inoltre, affermare che l’origine viene mandata nel punto .

Un punto

che mediante un’affinità viene mandato in se stesso, cioè tale che , si dice punto fisso per l’affinità T.

Trasformazione inversa

Poiché ogni affinità rappresenta una corrispondenza biunivoca (essendo il determinante della matrice non nullo!), essa è invertibile, cioè per ogni affinità T esiste la trasformazione inversa, descritta nel seguente modo:

E’ possibile determinare le equazioni della trasformazione inversa utilizzando la condizione

:

Ricordiamo, inoltre, che in questo caso, la matrice dei coefficienti delle equazioni è l’inversa della matrice

, e il suo determinante è il reciproco di quello di ; si ha, pertanto:

Proprietà invarianti

Ogni trasformazione affine gode di alcune proprietà fondamentali; elenchiamo le principali:

• Le rette vengono trasformate in rette, cioè, se si hanno
  [math]n[/math]
  punti distinti, allineati, essi vengono trasformati in altrettanti punti, anch’essi allineati,
  [math] P_1, P_2, \ldots, P_n [/math]
  e si ha quindi:
  [math] T(P_1), T(P_2), \ldots, T(P_n) [/math]
  ;
• Se due rette
  [math]r[/math]
  ed
  [math]s[/math]
  si intersecano in un punto
  [math]P[/math]
  , le rette
  [math]r'[/math]
  ed
  [math]s'[/math]
  ottenute dalla trasformazione si intersecano nel punto
  [math]P' = T(P)[/math]
  ;
• Tre punti non allineati vengono trasformati in tre punti non allineati; possiamo dire che un triangolo di vertici
  [math]A[/math]
  ,
  [math]B[/math]
  ,
  [math]C[/math]
  , viene trasformato in un triangolo di vertici T(A), T(B), T(C);
• Le rette parallele vengono trasformate in rette parallele;
• I punti di un segmento di estremi
  [math]P[/math]
  e
  [math]Q[/math]
  vengono trasformati nei punti di un segmento di estremi
  [math]P' = T(P)[/math]
  e
  [math]Q'=T(Q)[/math]
  ;
• Il punto medio di un segmento
  [math]PQ[/math]
  viene trasformato nel punto medio del segmento
  [math]T(P)T(Q)[/math]
  ;
• Un triangolo di area
  [math]A[/math]
  viene trasformato in un triangolo di area
  [math]A' = A \cdot | \mbox{det}(B) |[/math]
  , dove
  [math]B[/math]
  rappresenta la matrice della trasformazione;
• Le coniche vengono trasformate in coniche, quindi, le ellissi vengono trasformate in ellissi, le parabole in parabole, le iperboli in iperboli; le circonferenze, invece, vengono trasformate in ellissi;
• Se la retta
  [math]r[/math]
  è tangente alla conica
  [math]\gamma[/math]
  , la retta
  [math]r'[/math]
  , trasformata di
  [math]r[/math]
  , è ancora tangente alla conica
  [math]\gamma'[/math]
  , trasformata di
  [math]\gamma[/math]
  .

Prodotto (o composizione) di trasformazioni

Consideriamo due affinità

e nello spazio a due dimensioni, di in . Allora, possiamo affermare che:

La trasformazione composta, o prodotto,

, ottenuta eseguendo prima la trasformazione , poi la trasformazione , è anch’essa un’affinità di in ;
se e sono le matrici dei coefficienti delle trasformazioni e , allora la matrice dei coefficienti della trasformazione composta è la matrice del prodotto .

In generale, inoltre, il prodotto di due trasformazioni non è commutativo, cioè:

Questo fatto può essere giustificato poiché il prodotto tra matrici non è, in generale, commutativo, cioè: