Prodotti notevoli tra polinomi

1) Prendiamo in considerazione questo quadrato di binomio:

[math](a+b)^2[/math]
.
Per eseguirlo, bisogna sviluppare il binomio, ossia bisogna moltiplicare il binomio per se stesso.
In poche parole:
[math](a+b)^2 =(a+b)*(a+b)[/math]
.
Quindi, moltiplicando ogni termine della prima parentesi con il suo corrispondente, otteniamo:
[math](a+b)^2=\\
(a+b)*(a+b)=\\
a^{2}+ab+ab+b^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}[/math]

Lo stesso procedimento avviene anche quando abbiamo a che fare con una differenza. Prendendo come esempio il primo binomio otteniamo:

[math](a-b)^{2}=\\
(a-b)*(a-b)=\\
a^{2}-ab-ab+b^{2}= a^{2}-2ab+b^{2}[/math]

Regola fondamentale:Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

2) Prendiamo in considerazione un quadrato di trinomio

[math](a+b+c)^{2}[/math]
.

Il procedimento è uguale a quello utilizzato nel quadrato di binomio: bisogna scomporre il quadrato del trinomio nella moltiplicazione del trinomio per se stesso.
Quindi otteniamo:

[math](a+b+c)^{2}=\\
(a+b+c)*(a+b+c)=\\
a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+cb+c^{2}[/math]

Sommando i termini simili, otteniamo:

[math]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc[/math]

Ciò avviene anche se si volesse eseguire una differenza, anziché una somma.

Regola fondamentale:il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini, più i tre doppi prodotti, ognuno con il segno che gli compete.

3) Prendiamo ora in considerazione il prodotto di una somma per differenza:

[math](a+b)(a-b)[/math]

Un metodo molto semplice di risolvere questo prodotto è quello di moltiplicare ogni termine per il suo corrispondente. Quindi:

[math](a+b)(a-b)=\\
a^{2}-ab+ab-b^{2}[/math]

Addizionando i termini simili di segno opposto, otteniamo:

[math]a^{2}-b^{2}[/math]

Possiamo concludere che:
Il prodotto di una somma per una differenza è uguale alla differenza di due quadrati.

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