Equazioni e disequazioni: regole e teoremi

In quest'appunto troverai tutte le informazioni relative alle equazioni e alle disequazioni, con particolare attenzione alle definizioni e ai principi utilizzati per la loro risoluzione.

Cos'è un'equazione e quali sono i principi da applicare per risolverle

Si chiama equazione un’uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata per alcuni valori attribuiti alla variabile.

Nel caso essa risulti verificata per ogni possibile valore, l'equazione prende il nome di identità.
Per svolgere le equazioni è necessario isolare in un unico membro le quantità con l'incognita. Per fare ciò è possibile sfruttare due criteri chiamati principi di equivalenza. In modo particolare:

• il primo principio di equivalenza afferma che sommando o sottraendo al primo e al secondo membro una stessa quantità, l’equazione non cambia
• il secondo principio di equivalenza afferma che moltiplicando o dividendo al primo e al secondo membro una stessa quantità, l'equazione non cambia.

Le caratteristiche delle equazioni

Due frazioni algebriche

e

sono equivalenti se

per tutti i valori della variabile che non annullano né

né

.
Un'equazione può essere caratterizzata a partire:

• dalla forma. Un'equazione può essere scritta in forma normale o in forma esplicita. Un'equazione è ridotta in forma normale se il primo membro è un polinomio ridotto in forma normale e il secondo membro è zero.
• dal grado. Si definisce grado dell’equazione
  [math]A(x) = 0[/math]
  scritta in forma normale il grado del polinomio
  [math]A(x).[/math]
  Il grado di un’equazione intera è il grado di una qualunque equazione a essa equivalente e scritta in forma normale. Si definisce equazione lineare in una sola incognita un’equazione che può sempre essere ridotta in forma
  [math]ax = b[/math]
  , con
  [math]a,\ b[/math]
  numeri reali. Essa non è altro che un'equazione di grado uno

Cosa sono e come risolvere una disequazione correttamente

Si chiama disequazione una disuguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più variabili. Una disequazione si dice:

• fratta se l’incognita compare almeno in uno dei denominatori presenti nella disequazione
• numerica se l’incognita è l’unica lettera in essa presente
• letterale se oltre l’incognita contiene altre lettere, dette parametri

.

Così come accade per le equazioni, anche le disequazioni possono essere risolte applicando i principi di equivalenza. Il primo principio afferma che sommando o sottraendo al primo e al secondo membro una stessa identità, la disequazione non cambia, mentre il secondo afferma che moltiplicando o dividendo al primo e al secondo membro una stessa quantità, la disequazione non cambia.

Due disequazioni, nella stessa incognita e con lo stesso dominio, sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Esempi svolti e commentati su disequazioni ed equazioni

Esempio 1: equazione di secondo grado intera

Supponiamo di avere l'equazione di secondo grado intera

. L'equazione avrà sicuramente due soluzioni poiché il grado massimo con cui compare l'esponente è

. A seconda del valore del discriminante, esse possono essere reali e distinte (

), reali e coincidenti (

), complesse coniugate (

).

Il valore del discriminante di quest'equazione è

. Poichè il valore del discriminante è positivo, le radici saranno reali e distinte.
Le soluzioni dell'equazione sono

.

Esempio 2: disequazione di secondo grado fratta

Un'equazione si dice fratta quando presenta l'incognita sia al numeratore che al denominatore. Per risolvere una disequazione di questo tipo, quindi, bisogna considerare entrambe le parti.
Supponiamo di avere la disequazione

. Una disequazione di primo grado può essere studiata direttamente al contrario di una disequazione di secondo grado, la quale può essere risolta mediante l'impiego delle equazioni associate.

Partiamo dalla disequazione al denominatore

. In questo caso basta applicare i principi di equivalenza per ottenere la soluzione, che sarà

.
Per il numeratore invece bisogna risolvere l'equazione

. Calcoliamo il discriminante

. Le soluzioni saranno quindi

.

Nella disequazione

il segno della disequazione (

) e il segno del termine con l'incognita al quadrato (

) sono concordi. In questo caso, la disequazione è soddisfatta per valori esterni all'intervallo aventi come estremi le soluzioni trovate. Per cui la soluzione è

.

Dopo aver risolto singolarmente le disequazioni torniamo alla forma "iniziale", ossia

. Poiché l'intera frazione risulta essere positiva, bisogna studiare in quali intervalli tra i seguenti

, numeratore e denominatore risultano concordi (ossia hanno lo stesso segno).

In questo caso, ciò accade se

: tale valore sarà la soluzione della disequazione.

Per ulteriori approfondimenti su equazioni e disequazioni vedi anche qui