In quest'appunto troverai tutte le informazioni relative alle equazioni e alle disequazioni, con particolare attenzione alle definizioni e ai principi utilizzati per la loro risoluzione.

Indice
Cos'è un'equazione e quali sono i principi da applicare per risolverle
Si chiama equazione un’uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata per alcuni valori attribuiti alla variabile. Nel caso essa risulti verificata per ogni possibile valore, l'equazione prende il nome di identità.Per svolgere le equazioni è necessario isolare in un unico membro le quantità con l'incognita. Per fare ciò è possibile sfruttare due criteri chiamati principi di equivalenza. In modo particolare:
- il primo principio di equivalenza afferma che sommando o sottraendo al primo e al secondo membro una stessa quantità, l’equazione non cambia
- il secondo principio di equivalenza afferma che moltiplicando o dividendo al primo e al secondo membro una stessa quantità, l'equazione non cambia.
Le caratteristiche delle equazioni
Due frazioni algebricheUn'equazione può essere caratterizzata a partire:
- dalla forma. Un'equazione può essere scritta in forma normale o in forma esplicita. Un'equazione è ridotta in forma normale se il primo membro è un polinomio ridotto in forma normale e il secondo membro è zero.
- dal grado. Si definisce grado dell’equazione [math]A(x) = 0[/math]scritta in forma normale il grado del polinomio[math]A(x).[/math]Il grado di un’equazione intera è il grado di una qualunque equazione a essa equivalente e scritta in forma normale. Si definisce equazione lineare in una sola incognita un’equazione che può sempre essere ridotta in forma[math]ax = b[/math], con[math]a,\ b[/math]numeri reali. Essa non è altro che un'equazione di grado uno
Cosa sono e come risolvere una disequazione correttamente
Si chiama disequazione una disuguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più variabili. Una disequazione si dice:- fratta se l’incognita compare almeno in uno dei denominatori presenti nella disequazione
- numerica se l’incognita è l’unica lettera in essa presente
- letterale se oltre l’incognita contiene altre lettere, dette parametri
Così come accade per le equazioni, anche le disequazioni possono essere risolte applicando i principi di equivalenza. Il primo principio afferma che sommando o sottraendo al primo e al secondo membro una stessa identità, la disequazione non cambia, mentre il secondo afferma che moltiplicando o dividendo al primo e al secondo membro una stessa quantità, la disequazione non cambia.
Due disequazioni, nella stessa incognita e con lo stesso dominio, sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Esempi svolti e commentati su disequazioni ed equazioni
Esempio 1: equazione di secondo grado intera
Supponiamo di avere l'equazione di secondo grado interaIl valore del discriminante di quest'equazione è
Le soluzioni dell'equazione sono
Esempio 2: disequazione di secondo grado fratta
Un'equazione si dice fratta quando presenta l'incognita sia al numeratore che al denominatore. Per risolvere una disequazione di questo tipo, quindi, bisogna considerare entrambe le parti.Supponiamo di avere la disequazione
Partiamo dalla disequazione al denominatore
Per il numeratore invece bisogna risolvere l'equazione
Nella disequazione
Dopo aver risolto singolarmente le disequazioni torniamo alla forma "iniziale", ossia
In questo caso, ciò accade se
Per ulteriori approfondimenti su equazioni e disequazioni vedi anche qui