Moltiplicazioni, divisioni e potenze di frazioni algebriche
Questa è la seconda parte della guida sulle operazioni con le frazioni algebriche. Molti passaggi che scriverò qui sotto sono spiegati nei minimi dettagli nella guida qui sopra linkata, vi basterà cliccare sul link blu per vedere come semplificare, come ridurre a denominator comune e come eseguire addizioni e sottrazioni tra FA.Iniziamo!
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Quando si parla di operazioni algebriche si parla anche di moltiplicazione e divisione, essenziali per riuscire ad eseguire alcune espressioni.
La moltiplicazione, come tutte le altre operazioni e come del resto anche la divisione, si basa su alcuni punti da seguire per riuscire a risolverla.
Prendiamo come esempio la seguente moltiplicazione:
[math]\frac{3x-3y}{2x+2y}\cdot\frac{4x+4y}{6x^2-12xy+6y^2}[/math]
.a)fattorizzare le frazioni.
Il primo passaggio è semplificare le frazioni riducendole ai minimi termini.
[math]\frac{3(x-y)}{2(x+y)}\cdot\frac{4(x+y)}{6(x-y)^2}[/math]
.b)semplificare in croce.
Il secondo passaggio è semplificare in croce, ovvero semplificare il numeratore della prima con il denominatore della seconda e il denominatore della prima con il numeratore della seconda secondo le regole della semplificazione.
[math]\frac{3(x-y)}{2(x+y)}\cdot\frac{4(x+y)}{6(x-y)^2} = \frac{1}{x-y}[/math]
.c)determinare le CE.
Come spiegato nella guida precedente, bisogna determinare le CE. In questo caso, dato che il denominatore ha 2 incognite, si prende x e la si nega per +- y.
[math]CE: x\ne\pm y[/math]
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L'altra importantissima operazione è la divisione tra FA. La divisione è leggermente più lunga da eseguire ma si basa sugli stessi principi della moltiplicazione.
Prendiamo come esempio: [math]\frac{a^3+a}{a^2+4a-5} : \frac{a^4+a^2}{a^2+10a+25}[/math]
.a)fattorizzare le frazioni.
Come prima, il primo passaggio è la fattorizzazione in fattori primi delle frazioni.
[math]\frac{a(a^2+1)}{(a-1)(a+5)} : \frac{a^2(a^2+1)}{(a+5)^2}[/math]
.b)convertire la divisione in moltiplicazione.
Il secondo passaggio è convertire la divisione in moltiplicazione moltiplicando la prima frazione per l'inverso della seconda.
[math]\frac{a(a^2+1)}{(a-1)(a+5)} : \frac{(a+5)^2}{a^2(a^2+1)}[/math]
.c)determinare le CE.
[math]CE: a\ne 1 \land a\ne -5[/math]
.d)semplificare in croce.
Semplificare in croce come spiegato nel paragrafo della moltiplicazione.
[math]\frac{a(a^2+1)}{(a-1)(a+5)} : \frac{a^2(a^2+1)}{(a+5)^2} = \frac{a+5}{a(a-1)}[/math]
..
L'operazione più veloce e semplice da eseguire è la potenza di una frazione algebrica. Molto semplice ma molto importante. Prendiamo in esempio:
[math](\frac{x^2}{x-1})^3[/math]
.a)scrivere la frazione con le potenza al N e al D.
Quando si ha una frazione algebrica tra parentesi elevata ad un numero significa che sia il numeratore che il denominatore devono essere elevati. Procediamo quindi a scrivere le potenze al N e al D.
[math]\frac{(x^2)^3}{(x+1)^3}[/math]
.b)eventuale passaggio: eseguire le potenze.
Il penultimo passaggio, facoltativo, è quello di eseguire le potenze.
[math]\frac{x^6}{x^3-1-3x^2+3x}[/math]
.c)eventuale passaggio: semplificare.
Se le potenze sono state risolte allora vanno anche semplificate. Seguire la guida precedente per capire come fare.
[math]\frac{x^6}{x^3-1-3x^2+3x} = \frac{x^3}{-1-3x^2+3x}[/math]
d)determinare le CE.[math]CE: x\ne 1[/math]
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