Monomi e polinomi: regole base

In questo appunto verranno affrontati dei concetti fondamentali che stanno alla base del calcolo letterale matematico, andando dunque a vedere alcune definizioni fondamentali in merito ai concetti che ruotano attorno ai monomi, polinomi e così via.

Definizioni fondamentali

Di seguito si procederà nell’andare a definire i concetti di binomio, monomio, polinomio, costante, coefficiente numerico, espressioni letterali, trinomio, binomio e frazione algebrica.

Monomio
Un monomio è un’espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione. Un monomio è tale dunque quando non compaiono altre operazioni e segni di addizione o sottrazione, e vanno dunque a figurare soltanto potenze e moltiplicazioni. È possibile andare ad individuare e definire gli elementi di un monomio. Gli elementi di un monomio sono definiti come fattori, perché sono termini di una moltiplicazione, ma possono comparire anche come potenze. Infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Un monomio si può definire come monomio ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico, definito coefficiente, e di potenze letterali con basi diverse. Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la parte letterale.

Coefficiente numerico: si definisce dunque come la parte numerica di un monomio.

Costante: non è altro che un numero reale e, come tale, non è variabile, anche se può essere indicato con una lettera.

Polinomio: non è altro che la somma algebrica di più monomi sommati e sottratti tra di loro.

Binomio: non è altro che un polinomio composto da due termini, dove i termini se visti singolarmente sono dei monomi.

Trinomio: non è altro che un polinomio composto da tre termini, dove i termini se visti singolarmente sono dei monomi.

Espressione letterale: non è altro che formula in cui compaiono lettere che indicano generi numerici reali.

Frazione algebrica: espressione non riducibile ad una relazione matematica di questo tipo, riportata come segue:

Dove P e Q sono polinomi ( nei casi più semplici è sufficiente che Q sia un monomio).

Operazioni tra polinomi

Esistono diverse operazioni possibili tra polinomi. Nello specifico si parlerà di somma per differenza, quadrato di binomio e cubo di binomio. Si deve andare a definire il concetto di prodotto notevole. Per prodotto notevole si intende il risultato di particolari moltiplicazioni che assumono sempre la stessa forma: il loro calcolo è, quindi, immediato.

Somma per differenza di monomi uguali. Si esegue facendo il quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio. La relazione matematica è la seguente:

La regola del prodotto tra polinomi è sempre valida, ma, come si può osservare nella dimostrazione accanto, i termini misti si elidono, per cui verrà ricordata la regola della somma per differenza di monomi uguali sopra enunciata.

Quadrato di binomio: Si esegue facendo il quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo più il quadrato del secondo monomio. La relazione matematica è la seguente:

In questa espressione, il segno del doppio prodotto dipende dal segno di ciascun termine del binomio.

Cubo di un binomio: è la potenza di un binomio con esponente 3, la sua espressione ha sempre la stessa forma: è la somma del cubo del primo termine, del triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, del triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, comparendo dunque la relazione matematica così come segue:

In questa espressione, il segno di ciascun termine dipende da quello di ciascun termine del binomio.

Quadrato di un trinomio: è al potenza di un trinomio con esponente pari a 2, la sua espressione ha sempre la stessa forma. È la somma dei quadrati dei suoi termini più i doppi prodotti di ogni termine per ciascuno degli altri due. La relazione matematica così come segue: (

In questa espressione, segno dei prodotti dipende dal segno di ciascun termine del trinomio.

Regola di Ruffini: algoritmo che consente, attraverso una particolare visualizzazione a schema, di determinare il quoziente tra un polinomio p(x) e un binomio del tipo x ± k più rapidamente di quanto non permetta l’usuale algoritmo di divisione di polinomi.

Il teorema di Ruffini: se p(x) è un polinomio e k un numero reale, allora p(k), ottenuto sostituendo alla variabile x il numero k, è un numero reale, uguale al resto dalla divisione di p(x) per il binomio x-k

Altre definizioni

Di seguito si procederà nell’andare a definire i concetti di funzione polinomiale, funzione razionale, grado di un monomio, grado dei polinomio, monomi opposti, monomio, parte letterale, monomio con coefficiente naturale, multiplo di un monomio, polinomio in una variabile, polinomio completo, polinomio omogeneo, polinomio opposto e segno di un monomio.

Funzione polinomiale: funzione del tipo y= p(x) dove p(x) è un polinomio nella variabile x. Una funzione polinomiale è definita per ogni x appartenente a R.

Funzione razionale intera: è sinonimo di “funzione polinomiale”.

Grado di un monomio: somma degli esponenti della parte letterale.

Grado di un polinomio: è il massimo tra i gradi dei suoi termini.

Monomi opposti: monomio simili con coefficiente numerici opposti.

Monomi simili: sono monomi con identica parte letterale.

Monomio: espressione che indica un numero finito di moltiplicazioni di variabili e costanti appartenenti a un determinato insieme. Se non vi sono ulteriori specificazioni, tale insieme è l’insieme R dei numeri reali.

Monomio con coefficiente naturale: monomio che ha per coefficiente numerico un numero naturale diverso da 0.

Multiplo di un monomio: un monomio A è multiplo del monomio B se esiste un monomio C tale che A=B per C.

Parte letterale di un monomio: espressione di un monomio costituita dal prodotto delle sue variabili (indicate con lettere)

Polinomi primi tra loro: polinomi che non hanno fattori comuni. Il loro M.C.D è quindi uguale a 1.

Polinomio: addizione o sottrazione di monomi.

Polinomio in una variabile: polinomio in cui compare una sola variabile. Per esempio x, un polinomio di questo tipo è generalmente indicato con p(x).

Polinomio completo in un variabile: polinomio in cui compaiono tutte le potenze della variabile x.a quelle di grado massimo, compreso il termine noto.

Polinomio omogeneo: polinomio i cui termini sono tutti dello stesso grado.

Polinomio opposto: è l’inverso di un polinomio dato, rispetto all’addizione; si ottiene cambiando il segno di ciascun dei suoi termini.

Segno di un monomio: segno del suo coefficiente numerico,