Triangoli – Generalità e classificazione

In questo appunto vengono descritti e definiti i triangoli e le diverse classificazioni; vengono analizzati alcuni elementi come l’altezza, l’ortocentro, la mediana e il baricentro e viene spiegato il modo in cui tali elementi possono essere costruiti.

Generalità sui triangoli

Il triangolo è costituito da tre segmenti aventi i vertici in comune, il triangolo è quindi un poligono che ha tre lati e tre angoli.
Il triangolo è una figura rigida e indeformabile.

Gli angoli del triangolo hanno la proprietà che la somma degli angoli interni è sempre 180° (ampiezza che corrisponde ad un angolo piatto).
Gli angoli del triangolo hanno la proprietà che la somma degli angoli esterni è sempre 360° (ampiezza che corrisponde ad un angolo giro).
La somma di due angoli adiacenti è sempre 180°.

In un poligono in genere si individuano le diagonali come i segmenti che uniscono due vertici non adiacenti; dato che un triangolo ha solo 3 angoli, non esistono due vertici non adiacenti perciò in un triangolo non esistono le diagonali.

Un’altra proprietà dei triangoli è che ogni lato è minore della somma degli altri due e, ed è maggiore della loro differenza.

Per ulteriori approfondimenti sugli angoli e le principali classificazioni vedi anche qua

Classificazione dei triangoli

I triangoli possono essere classificati in base alle caratteristiche relative tra i lati o gli angoli che lo costituiscono.
La classificazione in base ai lati di un triangolo individua tre diversi tipi di triangoli:

• Scaleno: triangolo con tre lati con lunghezze differenti
• Isoscele: triangolo con due lati congruenti
• Equilatero: triangolo con tutti e tre i lati congruenti

Il triangolo equilatero possiede 3 lati congruenti e anche 3 angoli congruenti; dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a un angolo piatto (180°) si ha che ogni angolo di un triangolo equilatero ha un’ampiezza di:

Ogni triangolo equilatero è quindi costituito da 3 angoli con un’ampiezza di 60°.

La classificazione in base agli angoli di un triangolo individua tre diversi tipi di triangoli:

• Acutangolo: triangolo con tutti gli angoli acuti
• Rettangolo: triangolo con un angolo retto (ampiezza di 90°) e due acuti
• Ottusangolo: triangolo con angolo ottuso e due acuti

Altezze e ortocentro

L'altezza è il segmento perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto.
Un segmento è perpendicolare quando forma 4 angoli retti all’incontro con un secondo segmento o con una retta.
Per costruire l’altezza di un triangolo è quindi necessario considerare un vertice e il lato opposto (tale lato prende il nome di base), l’altezza relativa a tale base è quindi quel segmento che ha come estremo il vertice considerato e che cade sulla base in modo perpendicolare.
Dato che un triangolo è composto da tre lati e dato che ogni lato può essere scelto come base, un triangolo è costituito da 3 altezze, ognuna relativa a un lato del triangolo.

L’altezza di un triangolo può essere interna o esterna rispetto al triangolo.
In genere per triangoli acutangoli l’altezza è sempre interna al triangolo (tutto il segmento che individua l’altezza è contenuto nella porzione di spazio definita dal triangolo); nel caso di triangoli ottusangoli si ha che un’altezza è esterna al triangolo, si può notare attraverso un disegno che il segmento che individua l’altezza, per essere perpendicolare alla base deve essere tracciato esternamente rispetto al triangolo e per individuare il punto in cui l’altezza incontra la base è necessario prolungare la base.
Nel caso di un triangolo rettangolo esistono due altezze che coincidono con un lato del triangolo.

L'ortocentro, invece, è il punto d'incontro delle altezze.
Nei triangoli acutangoli l’ortocentro è sempre interno al triangolo ma esso può trovarsi anche fuori dalla figura, infatti nel triangolo ottusangolo l'ortocentro è sempre esterno.

Nell'angolo retto invece l'ortocentro corrisponde ad un vertice.
Il triangolo isoscele è caratterizzato da alcune proprietà particolari; in tale triangolo l'altezza relativa alla base divide il triangolo in due parti uguali, ciò implica che l’angolo al vertice compreso tra i due lati di uguale lunghezza viene diviso dall’altezza in due angoli congruenti, perciò l’altezza è anche bisettrice. Dato che l’altezza divide il triangolo isoscele in due triangoli congruenti si ha anche che l’altezza divide la base in due segmenti congruenti perciò l’altezza è anche mediana della base.

Per ulteriori approfondimenti sul triangolo isoscele e le sue proprietà vedi anche qua

Mediana e baricentro

La mediana è un segmento che da un vertice cade nel punto medio del lato opposto.
Dato che un triangolo è composto da tre lati, un triangolo è costituito da tre mediane.
Il punto di intersezione delle mediane individua un punto particolare che prende il nome di baricentro.
Il baricentro è un punto notevole di un triangolo che, indipendente dal tipo di triangolo considerato, ha la caratteristica di dividere ogni mediana in due segmenti di cui quello che congiunge il vertice è doppio dell'altro.
Nei triangoli rettangoli esiste un’ulteriore relazione che coinvolge la mediana: la mediana relativa all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa.