In quest'appunto troverai un'introduzione generale sulla geometria piana, con un approfondimento sui triangoli e un esercizio svolto. In particolare, verranno elencate e spiegate le principali formule e proprietà di queste figure.
Indice
Cos'è la geometria piana e cosa studia
La geometria piana studia le figure geometriche aventi soltanto larghezza e altezza, quindi due dimensioni (a differenza della geometria solida la quale si fonda su figure geometriche aventi tre dimensioni).
I concetti fondamentali su cui si basa la geometria piana sono i seguenti:
- il punto, definibile mediante le coordinate. Esso non ha dimensione e occupa semplicemente una posizione
- la retta, la quale può essere definita come una successione infinita di punti posti su un'unica direzione
- il segmento, cioè una successione di punti finita limitata da due punti chiamati estremi
- la semiretta, cioè una successione infinita di punti limitata da un'unica estremità
- l'angolo, ossia una parte di piano racchiusa tra due semirette aventi l'origine in comune. Gli angoli possono essere classificati osservando la posizione dei prolungamenti dei propri lati oppure attraverso la misurazione dell'ampiezza. Si definisce ampiezza l'estensione della parte di piano racchiusa dall'angolo
Le figure geometriche sono il risultato della combinazione di questi enti.
Esse possono essere poligonali (come il triangolo, il quadrato, etc.) quando il contorno della figura è rappresentato da una linea spezzata chiusa, ossia una successione di segmenti consecutivi aventi direzioni differenti. Vi sono altre figure piane che non possono essere considerate poligonali, come il cerchio.
Per classificare delle figure geometriche è necessario valutare alcune grandezze. Per le figure piane, esse sono l'area e il perimetro. Il perimetro è la lunghezza del contorno della figura, ossia la somma dell'estensione dei segmenti che ne compongono il bordo. L'area, invece, è l'ampiezza della superficie inclusa all'interno del perimetro.
I triangoli: classificazione e proprietà
Le figure geometriche possono essere classificate in relazione al numero di lati e di angoli di cui dispongono. Una figura avente tre lati e tre angoli prende il nome di triangolo.
I triangoli a loro volta possono essere raggruppati in categorie a seconda delle caratteristiche dei lati o degli angoli.
In particolare, rispetto al primo criterio è possibile distinguere:
- i triangoli equilateri, aventi tre lati e tre angoli congruenti
- i triangoli isosceli, aventi due lati congruenti e i due angoli alla base congruenti
- i triangoli scaleni, aventi gli angoli e i lati differenti
mentre sfruttando il secondo criterio si possono riconoscere:
- i triangoli rettangoli, aventi un angolo retto ([math]90°[/math])
- i triangoli acutangoli, aventi solo angoli acuti, ossia angoli aventi ampiezza minore dell'angolo retto
- i triangoli ottusangoli, i quali dispongono di un angolo ottuso, cioè un angolo avente un'ampiezza maggiore dell'angolo retto
Gli elementi fondamentali all'interno di un triangolo sono tre: i lati, la base e l'altezza. A partire da questi ultimi è possibile definire altri segmenti e punti particolari.
Tra i segmenti particolari ricordiamo le bisettrici, la mediana e gli assi. Si definisce bisettrice il segmento che parte dal lato apposto rispetto a un angolo e lo divide in due parti uguali. La mediana, invece, ha un estremo nel punto medio di un segmento e l'altro nel vertice opposto. Infine, gli assi sono segmenti perpendicolari a un lato e passanti per il suo punto medio.
Per quanto riguarda i punti particolari presenti all'interno di un triangolo, essi sono:
- l'ortocentro, ossia il punto di incontro di tutte le altezze del triangolo
- l'incentro, cioè il punto di intersezione delle bisettrici
- il baricentro, ossia il punto di incontro di tutte le mediane del triangolo
- il circoncentro, cioè il punto di incontro degli assi
Come calcolare perimetro, area, base e altezza di un triangolo
Considerando un triangolo generico, il perimetro può essere calcolato sommando le lunghezze dei tre lati mentre l'area può essere quantificata attraverso il semiprodotto tra base e altezza. In termini matematici, questo può essere espresso come:
, in cui
sono rispettivamente i tre lati del triangolo e
è l'altezza.
Tali formule possono essere semplificate sfruttando le proprietà dei triangoli. Per esempio, nei triangoli equilateri è possibile calcolare il perimetro semplicemente moltiplicando per tre la misura di un lato, mentre nei triangoli isosceli basta sommare alla base il doppio prodotto dei lati obliqui.
Per quanto riguarda l'area, nei triangoli rettangoli è possibile calcolarla facendo il semiprodotto dei cateti, in quanto essi risultano perpendicolari tra di loro e quindi possono essere considerati come base e altezza.
Una formula particolare: la formula di Erone
Oltre alle formule precedentemente citate, è possibile utilizzare anche un'altra formula.
Essa è davvero molto lunga, ma è facilissima perché presenta termini ripetuti e serve a trovare l'area di un triangolo date le misure dei lati. Se indichiamo con
le misure dei lati, con
il perimetro del triangolo e con
il semiperimetro, allora si ha che:
e tale formula prende il nome di Formula di Erone.
Come applicare la formula di Erone
Consideriamo un triangolo
, aventi le seguenti dimensioni:
. Applica la formula di Erone per il calcolo dell'area.
In tal caso si ha
e quindi dalla formula di Erone:
math]A=\sqrt{23\cdot(23-20)\cdot(23-16)\cdot(23-10)}=\sqrt{23\cdot 3\cdot 7\cdot 13}=\\ \sqrt{6279}=79,24\ cm^2[/math]
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