Polinomio e moltiplicazione

Polinomio e moltiplicazione

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando il monomio per ogni termine del polinomio.
Esempio: 5ab3⋅(−3b2c+25a2b)=−15ab5c+2a3b4

un polinomio è, per definizione, un insieme di monomi collegati fra loro tramite il processo di somma algebrica.

il polinomio qua sopra è formato da tre differenti monomi.

un polinomio senza monomi simili al suo interno è considerato "in forma normale"

Se si intende moltiplicare o dividere un polinomio per un monomio si procede moltiplicando ogni monomio del polinomio per il monomio al primo fattore, sommando tra loro gli esponenti.

Nello stesso modo si procede con le divisioni, facendo però attenzione che ogni fattore del polinomio al dividendo abbia una parte letterale con esponenti uguali o maggiori rispetto al monomio al divisore
dopodiché si procede dividendo ogni componente del polinomio per il monomio, sottraendo gli esponenti.
In questo caso ci serviamo della proprietà distributiva, la quale rende possibile moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio.

Vediamo come, prima con un esempio facile e poi con uno più complicato.
(a + b2)·2a2 =
Moltiplichiamo il primo termine "a" del polinomio ("a + b2") per il monomio "2a2 ", dopodiché moltiplicheremo il secondo termine "b2" del polinomio per il monomio "2a2 ".

Quindi avremo:
a·2a2 + 2a2·b2
cioè
2a3 + 2a2b2

Secondo esercizio

(5a2 - ab + b2 - 3a3)·4b2 =
= 20a2b2 - 4ab3 + 4b4 - 12a3b2)
Alla fine è come fare più moltiplicazioni tra due monomi, prendendo un termine del polinomio alla volta. Ricordiamo che nelle moltiplicazioni tra potenze con stessa base, gli esponenti si sommano. Potrebbe servire anche un ripasso delle regole dei segni.

Moltiplicazione di due polinomi

In questo caso, sempre utilizzando la proprietà distributiva, basterà moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.
Come prima, cominciamo con un esercizio semplice per poi risolverne uno più difficile.
(3a + b2)·(a2 + 5b) =
Le moltiplicazioni da fare sono le seguenti:
3a ·a2 = 3a3
3a ·5b = 15ab
b2·a2 = a2b2
b2·5b = 5b3
Così abbiamo preso in considerazione ogni termine di entrambi i polinomi.
Scrivendo ora tutto su una riga, otteniamo il prodotto tra i due polinomi:
3a3 + 15ab + a2b2 + 5b3

Divisione di un monomio per un polinomio

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Un monomio diviso per un polinomio sarà il monomio fratto il polinomio.

Esempio
5ab : (3a - 6b) =
= 5ab / (3a - 6b)

Divisione tra polinomi

Lo stesso discorso vale per un polinomio diviso per un altro polinomio.

Ad esempio,
(3a + b2 - c) : (a3 - 4b + c3) =
sarà uguale a
(3a + b2 - c)
___________
(a3 - 4b + c3)
Volendo, potremmo anche scriverlo in questo modo:
(3a) / (a3 - 4b + c3) + (b2) / (a3 - 4b + c3) - (c) / (a3 - 4b + c3)
Cioè con tre frazioni aventi lo stesso polinomio come denominatore e come nominatore ciascun termine del primo polinomio.

La divisione è abbastanza semplice, il segno diviso viene sostituito da una linea di frazione.