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Sintesi
In questo appunto verrà trattata la prova della moltiplicazione, a partire dalla sua definizione. La prova della moltiplicazione è un algoritmo (ossia un insieme di operazioni) che è finalizzato a determinare se il risultato da noi trovato nell’esecuzione della moltiplicazione è giusto oppure sbagliato, senza utilizzare necessariamente una calcolatrice.
Moltiplicazione
La moltiplicazione è un'operazione matematica che consiste in un'addizione ripetuta della stessa quantità e si usa quando si devono appunto unire più quantità dello stesso valore. Il suo simbolo è
[math]\times[/math]
(leggi "per"). Per poter effettuare una moltiplicazione è necessario conoscere molto bene le tabelline. Non è altro che un’addizione abbreviata. Infatti scrivere [math] 32 \times 4 = 128[/math]
è molto più corto rispetto alla scrittura di [math] 32+32+32+32 [/math]
. Per approfondimenti sulla relazione tra addizione e moltiplicazione, vedi anche qua
Gli elementi della moltiplicazione
Il numero 32 (cioè il primo numero da moltiplicare) prende il nome di moltiplicando. Il numero 4 (cioè il numero per cui moltiplicare il moltiplicando) prende il nome di moltiplicatore. Entrambi vengono anche chiamati fattori. Il risultato dell'operazione (nel nostro caso 128 ) prenderà invece il nome di prodotto.
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione, come tutte le operazioni matematiche, gode di alcune proprietà e caratteristiche, che sono le seguenti:
- Proprietà commutativa: cambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia: 2 x 4 = 4 x 2
- Proprietà associativa: Il prodotto di più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto: 2 x 4 x 5 = 8 x 5
- Lo zero è l’elemento assorbente, perchè ogni numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0: 9 x 0 = 0
- L' uno è l'elemento neutro della moltiplicazione, in quanto ogni numero moltiplicato per 1 resta invariato: 9 x 1 = 9
Per approfondimenti sulle proprietà della moltiplicazione vedi anche qua
Prova della moltiplicazione: primo metodo (operazione inversa)
L'operazione di moltiplicazione non è difficile, e in questa sede si tralascia di spiegarne il procedimento. Tuttavia, specie quando il moltiplicando e il moltiplicatore assumono valori alti (composti da tante cifre), questa operazione può essere soggetta ad errori. Ragion per cui è sempre bene controllare l'esattezza del calcolo eseguito. Questa esattezza può essere verifica in molti modi.
Uno di questi è ad esempio trasformare la moltiplicazione in una divisione, che è la sua operazione inversa. Vediamo come.
Supponiamo di aver eseguito la seguente moltiplicazione, di cui si vuole verificare l'esattezza:
[math]92 \cdot 34 = 3128[/math]
Si sa che, come accennato prima, la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Questo significa che, se la moltiplicazione è stata fatta bene, dividendo il risultato ottenuto per uno dei due fattori, si dovrà ottenere l'altro.
Ci chiediamo quindi:
- [math]3128: 92 = ?[/math]
- [math]3128: 34 = ?[/math]
I primi due calcoli danno come risultato rispettivamente
[math]92, 34[/math]
quindi la moltiplicazione è verificata.Prova della moltiplicazione: secondo metodo (prova del nove)
Tuttavia la tecnica più semplice e più veloce è sicuramente la cosiddetta "prova del nove", così chiamata perchè in essa il numero 9 assume un valore/significato particolare.
Per spiegare in che cosa consiste la tecnica faremo riferimento alle figure riportate nel documento allegato a questo appunto.
- Si comincia tracciando una croce a due bracci (un braccio verticale e uno orizzontale), che suddivide il piano in 4 piccoli settori: uno a sinistra, uno a destra, uno in alto e uno in basso. (Vedi Figura 1)
- Nel settore di sinistra scriveremo la somma delle cifre del moltiplicando, in modo tale da ottenere una unica cifra. Nel nostro caso il moltiplicando è 92, quindi la somma delle sue cifre è pari a:
9 + 2 = 11 --> 11 = 1 + 1 = 2
Nel settore di sinistra scriveremo dunque un bel 2 (Vedi Figura 2) - Nel settore di destra scriveremo la somma delle cifre del moltiplicatore, in modo tale da ottenere una unica cifra. Nel nostro caso il moltiplicando è 34, quindi la somma delle sue cifre è pari a:
3 + 4 = 7
Nel settore di destra scriveremo dunque un bel 7 (Vedi Figura 3) - Nel settore in alto scriveremo la somma delle cifre del prodotto tra il numero del settore di destra e il numero di sinistra. Nel nostro caso è:
2 x 7 = 14[math] \rightarrow [/math]1 + 4 = 5
Nel settore in alto scriveremo dunque un bel 5 (Vedi Figura 4). - Nel settore in basso scriveremo la somma delle cifre del prodotto, in modo tale da ottenere una unica cifra. Nel nostro caso il prodotto è 3128, quindi la somma delle sue cifre è pari a:
3 + 1 + 2 + 8 = 14 ---> 1 + 4 = 5
Nel settore in basso scriveremo dunque un bel 5 (Vedi Figura 5)
Se ciò che è scritto nel settore in alto e ciò che è scritto nel settore in basso coincidono, il risultato della moltiplicazione eseguita è corretto. Nel nostro caso in entrambi i settori compare il numero 5, quindi la moltiplicazione è stata ben eseguita.
Questo metodo di chiama "prova del nove" perchè, qualora in uno dei quattro settori formati dalla "X" comparisse un 9, esso può essere tranquillamente sostituito con uno 0. In questo metodo, infatti, il nove e lo zero sono perfettamente equivalenti, e conducono agli stessi risultati.
Facciamo un esempio ulteriore: se volessimo verificare l'esattezza della seguente moltiplicazione: 1872 x 15 = 28080, potremmo procedere come segue:
- Tracciata la "X", nel settore di sinistra scriveremo la somma delle cifre del moltiplicando, in modo tale da ottenere una unica cifra. Nel nostro caso il moltiplicando è 1872, quindi la somma delle sue cifre è pari a:
1 + 8 + 7 + 2 = 18 --> 18 = 1 + 8 = 9
Nel settore di sinistra però scriveremo non 9 ma 0, giacchè, come dicevamo, in questo metodo le due cifre sono assolutamente equivalenti. - Nel settore di destra scriveremo la somma delle cifre del moltiplicatore, in modo tale da ottenere una unica cifra. Nel nostro caso il moltiplicando è 15, quindi la somma delle sue cifre è pari a:
1 + 5 = 6
Nel settore di destra scriveremo dunque un bel 6. - Nel settore in alto scriveremo la somma delle cifre del prodotto tra il numero del settore di destra e il numero di sinistra. Ma avendo sostituito il 9 con lo 0, il prodotto che andiamo a fare non è 9 x 6, bensì 0 x 6, che è di gran lunga più semplice. 0 x 6 = 0 Nel settore in alto scriveremo dunque uno 0.
- Nel settore in basso scriveremo la somma delle cifre del prodotto, in modo tale da ottenere una unica cifra. Nel nostro caso il prodotto è 28080, quindi la somma delle sue cifre è pari a:
2 + 8 + 0 + 8 + 0 = 18 ---> 1 + 8 = 9
Nel settore in basso scriveremo dunque non 9 ma uno 0, giacché, come dicevamo, in questo metodo le due cifre sono assolutamente equivalenti.
Come si vede, ciò che è scritto nel settore in alto e ciò che è scritto nel settore in basso coincidono, quindi il risultato della moltiplicazione eseguita è corretto (Vedi Figura 6).
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